Archimède compte les grains de sable de l’univers

Dans l’Arénaire, texte d’une vingtaine de pages, Archimède propose un système de numération qui permet de noter sans difficultés de très grands nombres. Ce texte, est intéressant à plusieurs titres :
– le lecteur d’aujourd’hui ne s’y sent pas dépaysé dans la mesure où il s’agit d’un raisonnement mathématique. La science moderne est héritière directe de cette science des anciens et si le même raisonnement est aujourd’hui plus économe en mots, la rigueur est la même. Le texte ne demande qu’un effort de lecture, non un dépaysement culturel,
– Archimède utilise pour son propos les connaissances astronomiques de son époque et nous propose aussi le récit d’une expérimentation précise, la mesure du diamètre apparent du soleil. Nous avons accès par ce biais aux pratiques scientifiques elles-mêmes et non pas seulement aux résultats comme dans le mécanisme d’Anticythère,
– la technique de mesure utilisée doit être examinée avec soin car il s’agit d’une méthode d’encadrement de la valeur recherchée, l’équivalent du calcul d’erreur de la physique moderne.

Le titre traditionnel en français, l’Arénaire, vient du titre latin arena qui signifie sable, traduction du grec psammitês. En langue anglaise, ce traité est connu comme étant le Sand-Reckoner, le « compteur de sable ». Il s’agit bien en effet de compter des grains de sable, et sur une grande échelle comme on va le voir.

***

Dans son adresse initiale au roi Gélon, fils de Hiéron, roi de Syracuse, Archimède s’empare d’un dicton populaire qui compare ce qui est incommensurable à du sable dont on ne peut compter les grains. Il se donne le défi de compter le nombre de grains de sable qui se trouvent dans l’univers au sens des anciens, c’est-à-dire le monde avec la terre au centre (ou le soleil, comme nous le verrons), et avec comme périphérie la « sphère des fixes » où sont les étoiles immobiles à l’encontre des planètes errantes. Le but d’Archimède est de mettre au point un système de numération qui permette d’exprimer des nombres, si grands soient-ils.

Son but est scientifique et non pratique car pour les besoins courants, on utilise la dizaine dekas,  la centaine hecatontas, le millier khilias, la myriade murias pour 10.000. Ce sont ces mots grecs qui seront d’ailleurs utilisés comme préfixes dans le système métrique (deca, hecta, kilo).

Pour donner un exemple parlant de l’efficacité de son système de numération, il va donc faire des estimations de la taille du monde mais à chaque étape, il n’hésitera pas à prendre un nombre plus grand que nécessaire (un majorant). Il développera les possibilités de son système à une échelle tellement grande que seule ses premiers développements en seront utilisés.

L’Arénaire permet aussi d’exposer avec rigueur ce qu’Archimède sait des dimensions du monde en tant qu’astronome, et il rappelle à cette occasion qu’il est le fils de l’astronome Phidias (cité dans le texte p. 137) [1]. L’Arénaire est divisé en quatre parties :

1) Hypothèses astronomiques

Qu’est ce qui est au centre de l’univers ? La croyance commune, nous dit Archimède, est que c’est la terre, mais il fait sien le système d’Aristarque de Samos qui pense que c’est le soleil. Est-ce qu’il l’adopte parce qu’il le juge astronomiquement plus conforme à la réalité, ou parce qu’il constate qu’un tel système entraine des dimensions du « monde » plus grande, ce qui est utile pour son exposé ? Il ne nous le dit pas.

Il admet que :

πρῶτον μὲν τὰν περίμετρον τᾶς γᾶς
D’abord le périmètre de la terre

εἶμεν ὡς τ μυριάδων σταδίων καὶ μὴ μείζω,
a la valeur de tau myriades de stades et pas plus. (p.136)

Le système savant de numération grecque [2] utilise les lettres de l’alphabet (en suivant l’ordre des lettres sémitiques dont elles sont issues) :
– pour les unités : alpha=1, bêta=2, gamma=3, delta=4, epsilon=5, digamma à la place du vaw sémitique et du f latin=6, dzêta=7, êta=8, thêta=9 ;
– pour les dizaines : iota=10, kappa=20, lambda=30, mu=40 ; nu=50, ksi=60, omicron=70, pi=80, koppa à la place du coph sémitique et du q des latins=90 ;
– pour les centaines : rhô=100, sigma=200, tau=300, upsilon=400, phi=500, khi=600, psi=700, oméga=800, sampi en utilisant le tsadé sémitique=900 ;
– pour les milliers on réutilise les marques des unités précédées d’une marque graphique (un iota souscrit).

Alors que nous découpons les grands nombres par tranches de trois chiffres (mille, million, etc.), la myriade est l’unité de base qui est représentée par des nombres de quatre chiffres. Pour les nombres plus grands, on peut d’abord donner le nombre de myriades, puis les unités : par exemple on connait un nombre très grand que l’on trouve dans Aristarque de Samos [3] qui se présente ainsi (les lettres des unités avec une marque à gauche désignent les milliers ;  M désigne la myriade) : ,ζροε M ,εωοε qui retranscrit en chiffres donne 7175 M 5875 ou encore 7175 x 10000 + 5875.
Ce système savant, n’est pas celui qu’Archimède va nous présenter et qui s’apparente plus à un exercice mathématique qu’à la proposition d’un système utilisable.

Donc le périmètre de la terre vaut tau = 30 myriades de stades soit en prenant 157,5m pour la valeur du stade, 30 x 10 000 x 0,1575 km = 47 250 km ; mais comme Archimède, pour montrer les possibilités de son système de numération veut un majorant, il prendra ultérieurement une valeur dix fois plus grande.

Après diverses autres hypothèses, il en vient au rayon apparent du soleil. Et là, il nous explique le problème en termes très précis. Le majorant large viendra plus tard, ce qui importe ici c’est la précision de la mesure obtenue par encadrement entre une valeur inférieure (le minorant) et une valeur supérieure (le majorant).

Voici d’abord la procédure utilisée pour le minorant :

 Τεθέντος οὖν μακροῦ κανόνος ἐπὶ πόδα ὀρθὸν ἐν τόπῳ κείμενον,
Disposant donc d’une grande règle sur un pied vertical situé en un lieu

ὅθεν ἤμελλεν ἀνατέλλων ὁ ἅλιος ὁρᾶσθαι
d’où le soleil levant [halios= dorien] pouvait être vu

καὶ κυλίνδρου μικροῦ τορνευθέντος
et un petit cylindre ayant été fait au tour,

καὶ τεθέντος ἐπὶ τὸν κανόνα ὀρθοῦ εὐθέως μετὰ τὰν ἀνατολὰν τοῦ ἁλίου
et disposé verticalement sur la règle aussitôt après le lever du soleil

ἔπειτ’ ἐόντος αὐτοῦ ποτὶ τῷ ὁρίζοντι καὶ δυναμένου ἀντιβλέπεσθαι
ensuite, alors qu’il est à l’horizon et pouvant être regardé

ἐπεστράφη ὁ κανὼν εἰς τὸν ἅλιον
la règle est tournée vers le soleil

καὶ ἁ ὄψις κατεστάθη ἐπὶ τὸ ἄκρον τοῦ κανόνος
et l’œil est placé à l’extrémité de la règle

ὁ δὲ κύλινδρος ἐν μέσῳ κείμενος τοῦ τε ἁλίου
alors le cylindre placé entre le soleil

καὶ τᾶς ὄψιος ἐπεσκότει τῷ ἁλίῳ
et les yeux masque le soleil

Ἀποχωριζόμενος οὖν [τοῦ κυλίνδρου] ἀπὸ τᾶς ὄψιος
en éloignant donc le cylindre des yeux

ἐν ᾧ ἄρξατο παραφαίνεσθαι τοῦ ἁλίου μικρὸν
sur lequel commence à se laisser voir un peu du soleil

ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ κυλίνδρου, κατεστάθη ὁ κύλινδρος
de chacun des deux [côtés] du cylindre, le cylindre est fixé. (p. 138)

En effet, si on laisse le soleil apparaitre sur les côtés du cylindre, l’angle obtenu est inférieur au diamètre apparent du soleil et, pour être certain de ce résultat, Archimède en diminue encore la valeur du fait que l’œil n’est pas ponctuel mais a une certaine largeur.

Le majorant est obtenu en faisant la même mesure mais en occultant complètement le soleil par le cylindre. Les résultats sont les suivants exprimés en parties d’angle droit :
– le majorant est noté ρξδ  soit donc  rho=100 + ksi=60 + delta=4. Donc le majorant est la 164e partie de l’angle droit (ou, pour prendre nos unités actuelles en divisant 90 degrés par 164  = 0,549°)
– le minorant est égal à σ, sigma= 200. Le minorant est la 200e partie d’un droit (ou 0,45°).

La valeur estimée aujourd’hui du diamètre apparent du soleil, qui varie quelque peu au cours de l’année, est comprise entre 0,525° et 0,542°. Les valeurs actuelles sont bien comprises dans les bornes indiquées par Archimède.

Chacun aujourd’hui peut refaire facilement l’expérience d’Archimède, non en regardant le soleil en face, mais la lune qui a le même diamètre apparent. Il suffit en en effet de tendre sa main vers la lune et de recouvrir son image (comme le cylindre de l’expérience d’Archimède) par un ongle des doigts de la main. D’une manière très approximative, la largeur de l’ongle du petit doigt est de 7 mm et la distance de l’œil à l’extrémité du doigt est de l’ordre de 70 cm. La circonférence est de (reprenons la valeur donnée par Archimède pour pi = 22/7) : 70 x 2 x 22/7 = 440 cm. La largeur de l’ongle de 0,7 cm représente 0,7 / 440 = 1 / 629 de la circonférence pour reprendre la méthode d’Archimède. On multiplie ce résultat par 360 pour avoir le résultat en degrés : 360 / 629 = 0,57° ; c’est une approximation très grossière par rapport à l’encadrement archimédien mais on a au moins un bon ordre de grandeur (un demi-degré).

Prenant toujours des précautions dans ses estimations, Archimède fait des corrections et conclut que le diamètre du soleil est plus grand que la 203e partie de l’angle droit ou, en notant en parties de la circonférence (égale à 4 droits), est plus grand que la 812e partie de la circonférence. Arrondissant encore, Archimède démontre que le diamètre du soleil est supérieur au côté d’un polygone régulier de 1000 côtés inscrit dans la sphère des fixes.

2) Mise en relation des hypothèses

Reprenant alors ses hypothèses précédentes sur les rapports entre les dimensions du soleil, de la lune et de la terre, il arrive au résultat que le diamètre du monde est inférieur à cent myriades de myriades de stades.

Il fait ensuite des estimations sur le nombre de grains de sable compris dans un volume donné. Dans un volume d’une graine de pavot il y a moins d’une myriade de grains de sable.

Sans entrer dans le détail des mesures, des estimations personnelles faites avec du sable de Fontainebleau manifestent que le nombre retenu par Archimède est plus de dix fois supérieur à une estimation raisonnable, ce qui est normal du fait de sa stratégie.

3) Le système de numération

Archimède dispose d’une estimation par excès du diamètre du monde et du nombre de grains de sable par unité de volume. Avant de calculer le nombre de grains de sable contenu dans la sphère des fixes, il présente son système de numération.

Dans le système de numération grecque qui note par groupes de quatre chiffres, le dernier nombre de ce système sera égal à 9999 M 9999 et le suivant  sera la myriade de myriade 1 M M (dans notre système d’exposants de base 10, la myriade 10 000 est égale à 104 et la myriade de myriade à 104 x 104 = 108).

Archimède appelle premiers nombres tous les nombres jusqu’à la myriade de myriades (M M ou 108) : il va continuer la numération en prenant maintenant une série de seconds nombres qui ont comme unité la myriade de myriades et qui permettent d’en compter une, deux, une myriade, jusqu’à une myriade de myriades : traduits dans notre système, ces seconds nombres vont de 108 jusqu’à 108 x 108 = 1016 (moins une unité).

Le système peut se prolonger avec les troisièmes nombres et continuer beaucoup plus loin jusqu’aux nombres dénommés μυριακισμυριοστῶν, que Mugler (p.146) traduit nombres « cent millionièmes » (102 x 106) ou « dix mille myriadèmes » faute de pouvoir dire : nombres « myriades de myriadèmes » (104 x 104). Notons que ces nombres pourraient servir de première unité pour une nouvelle « période » de nombres. Et l’opération peut se poursuivre, mais cela ne servira pas pour le comptage du sable.

 4) mise en œuvre du système pour compter le nombre de grains de sable du monde

 Τούτων δὲ τῶν μὲν ὑποκειμένων, τῶν δὲ ἀποδεδειγμένων,
De toutes ces choses soit admises, soit démontrées

τὸ προκείμενον δειχθήσεται
la proposition sera démontrée (p. 149)

Archimède va utiliser les valeurs mesurées par lui ou par d’autres (en prenant toujours le majorant) ou démontrées géométriquement ; il va enchainer tous ces résultats puis les situer dans son système de numération.

Le système actuel pour noter des nombres très grand utilise habituellement les puissances de 10. Par exemple 100, dix au carré, se note 102, 1 000=10 x 10 x 10 dix au cube ou 103, la myriade 10 000=104. Si on fait le produit de deux nombre, 1 000 fois 1 000 par exemple, il suffit d’ajouter les exposants : 103 x 103 = 1 000 000, un million ou 103+3 soit 106. Archimède commence par démontrer que ce que nous venons d’utiliser en base 10, vaut pour une base quelconque : basea x baseb = basea+b. On notera qu’en utilisant les exposants on note l’importance numérique du nombre et Archimède va faire de même.

Le raisonnement va maintenant se dérouler en huit étapes très répétitives après une étape initiale. C’est pratiquement le même texte qui se reproduit de page en page avec simplement des modifications des valeurs finales, ce qui nous permettra de mettre l’ensemble  sous la forme d’un tableau.

Etape initiale : soit la sphère de diamètre d’un doigt qui peut contenir au plus  dix myriades de myriades de grains de sable. Pour  visualiser les myriades, je divise les nombres par tranches de 4 chiffres séparés par un point: 10.0000.0000 (ou en abrégé 10 M M). Le nombre le plus à gauche est en 10e position à partir de la droite et c’est d’ailleurs identique en notation moderne où les tranches de trois chiffres sont séparées par un espace : 1 000 000 000 (= 109 : on observe une différence d’une unité entre la position à gauche et l’exposant).

Étape 1 : on passe d’un diamètre d’un doigt à un diamètre de 100 doigt. Le volume correspondant est multiplié par 100x100x100 =100.0000 cent myriades (100 M) où le chiffre le plus à gauche est en 7e position (106).

Voici le cœur de la méthode d’Archimède : quand on multiplie le résultat de l’étape précédente par ce multiplicateur, il suffit d’ajouter à la position du résultat précédent la position du multiplicateur (moins une unité) pour avoir la position du nouveau résultat (pour nous 109 x 106 = 1015, où le 1 est en 16e position suivi de 15 zéros). La nouvelle position sera donc 10 + (7-1) = 16.

Étapes suivantes : on assiste à la répétition mot à mot du texte. On passe d’une étape à la suivante en multipliant par 100 le diamètre, le volume par 1003 soit une augmentation de 6 positions.

On passe ainsi, par multiplications successives, par  les étapes suivantes où dans la colonne « Numération d’Archimède » M désigne la myriade ; les premiers nombres vont de 1 à M M-1, les seconds nombres (notés N2) vont de 1 N2 à (M M N2) -1 etc.

Etape Volume Position Notation moderne Numération d’Archimède (abrégée)
0 1 doigt 10 109 10 N2
1 100 doigts 16 1015 1 000 M N2
2 1 stade 22 1021 10 M N3
3 100 stades 28 1027 1 000 N4
4 1 myriade de stades (MS) 34 1033 10 N5
5 100 MS 40 1039 1 000 N5
6 1 MMS 46 1045 10 M N6
7 100 MMS (diamètre du monde, conception commune) 52 1051 1 000 N7
7bis 1MMMS (le texte passe de 7 à 8 directement) 58 1057 10 N8
8 100 MMMS (diamètre du monde, conception d’Aristarque) 64 1063 1 000 M N8

Il reste à nommer les nombres en utilisant les conventions établies plus haut. Rappelons que la nomination se fait par myriade de myriades. Dans la première les nombres vont de 1 à 9999.9999 et le nombre suivant est 1.0000.0000 avec le premier chiffre en 9e position, premier nombre des seconds nombres. Pour savoir où se situe le dernier chiffre en position 64, on compte combien de Myriades de Myriades (Huit zéros) se trouvent dans 64. Il y en a 8 et on est donc dans les huitièmes nombres. Le résultat final est :

Φανερὸν τοίνυν ὅτι τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος
Il est donc évident que la quantité de sable de grandeur

ἔχοντος ἴσον τᾷ τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαίρᾳ,
égale à la sphère des astres fixes

ἃν Ἀρίσταρχος ὑποτίθεται,
comme suggérée par Aristarque

ἔλασσόν ἐστιν ἢ ,α μυριάδες τῶν ὀγδόων ἀριθμῶν.
est inférieure à 1000 (=,alpha) myriades de huitièmes nombres (p. 156)

Ce que résume le tableau, c’est qu’Archimède fait ses calculs sur la valeur de la position et il somme les positions pour faire le produit des nombres. C’est que nous faisons maintenant en sommant les exposants et non les rangs : on peut dire qu’Archimède a initié d’une certaine façon ce que nous appelons aujourd’hui le calcul logarithmique.

L’Arénaire est en quelque sorte le premier article scientifique qui nous soit conservé car il se caractérise par un calcul de mesures physiques muni d’un encadrement et par un système de numération qui permet non seulement d’exprimer des nombres gigantesques mais qui donne un algorithme de calcul des produits par calcul sur la taille du nombre, repéré par sa position.

Il faut lire l’Arénaire. Le savoir mathématique est cumulatif : nous relisons ce texte avec plus de deux millénaires de recherche mathématique derrière nous. De ce fait, si nous suivons pas à pas le raisonnement, nous pouvons le réexprimer en termes modernes et nous le replaçons dans l’ensemble du savoir actuel. Comme il est rare de pouvoir comprendre un article d’une revue actuelle de mathématiques, lisons le premier de la série, il est à la portée de chacun s’il en fait l’effort.

***

Archimède pour conclure s’adresse au roi Gélon et lui disant que ce qu’il vient d’exposer  paraitra peu croyable au commun des mortels mais que ceux qui ont réfléchi sur ces problèmes les accepteront grâce à sa démonstration : c’est encore vrai pour les lecteurs actuels. La force contraignante d’un texte mathématique peut continuer à s’exercer, quelle que soit la distance temporelle.


Ce texte est issu d’un séminaire animé par Georges Guilbaud [4] (1912-2008) dans les années 80 au Centre de Mathématiques Sociales de l’EHESS. C’est l’occasion pour moi de lui rendre hommage : il fut le mathématicien de Lacan [5] et, continuant le travail de Condorcet, introduisit des Mathématiques sociales dans les sciences humaines. Ce fut un enseignant qui savait expliquer des concepts mathématiques à des non-mathématiciens en prenant les exemples les plus divers, du calendrier à l’analyse factorielle.

Merci aussi à Alain Bernard, Fabio Acerbi et Ramon Masià Fornos, spécialistes de l’histoire de la mathématique grecque.

Je signale enfin que mon article sur « L’avenir des humanités » paru dans le numéro de décembre 2012 de la revue Esprit, est désormais disponible sur mon site à cette adresse.

  1. les renvois sont faits à l’édition des Belles Lettres de Charles Mugler, Tome II d’Archimède, 1971 []
  2. Geneviève Guitel, Histoire comparée des numérations écrites, Flammarion, 1975, p. 243 []
  3. Pierre Dedron et Jean Itard, Mathématiques et mathématiciens, Magnard, 1959, p. 278 []
  4. Math. Sci. hum / Mathematics and Social Sciences (46e année, n° 183, 2008(3), p. 9-15 []
  5. Elisabeth Roudinesco, Histoire de la psychanalyse en France (la bataille de cent ans) 2 : 1925-1985, Le Seuil, 1986, p. 564-565 []

L’homme de Vitruve

On désigne souvent sous le nom d’homme de Vitruve, le célèbre dessin de Léonard de Vinci [1] et on le met en rapport avec le traité de l’architecture inclus dans la Divina proportione de Luca Pacioli. En effet Léonard de Vinci qui fut son élève, en a réalisé plusieurs illustrations, mais l’homme de Vitruve ne s’y trouve pas : essayons d’en comprendre la raison.

L’origine du dessin est un passage du De Architectura de Vitruve. Comme le signale Philippe Fleury dans l’introduction de l’édition des Belles Lettres du texte de Vitruve [2], celui-ci était peu connu dans l’Antiquité : il est cité seulement par Pline et Frontin puis, plus tardivement, par Sidoine Apollinaire. Comme Vitruve dédie ses Dix livres de l’architecture à Octave, il aurait pu exercer sa profession sous César.

A la Renaissance, Vitruve devient la référence en matière d’architecture et il inspire le De re aedificatoria (1485) d’Alberti. Outre le traité de Pacioli déjà cité (publié en 1509), il faut citer Les quatre livres de l’architecture d’Andrea Palladio (1570) dont le titre même évoque Vitruve puisque le De Architectura était connu sous le nom des Dix livres d’architecture de Vitruve, titre employé pour sa traduction (1673) par Claude Perrault, célèbre comme architecte de la colonnade du Louvre.

 On peut donc dire que des villas palladiennes (dont la fameuse Rotonda de Vicenze utilisée pour le tournage du Don Giovanni de Joseph Losey), à la colonnade du Louvre et à toute l’architecture classique, y compris dans ses développements plus récents (et même, comme on le verra, chez Le Corbusier), l’influence de Vitruve reste toujours forte. Il vaut donc la peine de lire (en version sous-titrée) le passage de Vitruve du livre 3, chapitre 1, 3 où il définit les rapports du corps humain avec les deux figures du cercle et du carré.

 Item corporis centrum medium naturaliter est umbilicus.
En outre le point central du corps est par nature au nombril
Namque si homo conlocatus fuerit supinus,
car si un homme est couché sur le dos
manibus et pedibus pansis,
mains et jambes écartées
circinique conlocatum centrum in umbilico eius,
et la pointe du compas sur son nombril
circumagendo rotundationem
en décrivant un cercle
_____utrarumque manuum et pedum
_____des deux mains et des pieds
digiti
les doigts
_____linea tangentur.
_____seront touchés par la ligne

Cette première inscription de l’homme dans un cercle est représentée isolément dans l’ouvrage de Claude Perrault qui souligne que les figures originales de Vitruve « ont été perdues par la négligence des premiers copistes qui ne savaient pas dessiner, et qui d’ailleurs ne les ont pas vraisemblablement jugées nécessaires ; parce que la vue de ces figures les ayant instruits des choses elles-mêmes dont il est parlé dans le texte, il leur a semblé assez intelligible ; de même qu’il arrive toujours que l’on entend bien ce qui est dit, quoi qu’obscurément, quand les choses sont claires d’elles-mêmes » (préface) [3]

Après ce qu’on a appelé l’homo ad circulum, est défini l’homo ad quadratum :

Non minus
Néanmoins,
quemadmodum schema rotundationis in corpore efficitur,
de même que la figure du cercle est opérante sur le corps
item quadrata designatio in eo invenietur
de même la disposition carrée se trouve en lui

nam si
car si
_____a pedibus imis ad summum
_____de la plante des pieds jusqu’en haut
caput mensum erit,
l’extrémité était mesurée

eaque mensura relata fuerit ad manus pansas,
et que cette mesure était reportée sur les mains tendues

invenietur eadem latitudo uti altitudo,
on trouvera même largeur que hauteur
quemadmodum areae,
comme pour les surfaces
quae ad normam sunt quadratae
qui sont [tracées] carrées à l’équerre.

Vitruve ne suggère pas que le carré soit inscrit dans le cercle : le centre de la figure humaine était défini comme étant le nombril, alors que dans le cas du carré, le centre de la figure se trouve sur le pubis, comme indiqué dans la figure de Claude Perrault.

Luca Pacioli lui est ambigu : il ne traduit pas Vitruve mais le paraphrase. L’interprétation de cette description est qu’il y aurait la même distance entre les deux pieds qu’entre une main et un pied. [4]. On trouve cette représentation par exemple dans une autre traduction de Vitruve de Cesare Cesariano de 1521 et il est possible que soit à l’époque l’interprétation la plus habituelle de l’homme de Vitruve [5] :

La solution de Léonard de Vinci est tout autre que cet homme en X dont la disproportion est évidente et l’on comprend mieux son absence de l’ouvrage de Pacioli dont l’interprétation est différente. Dans l’homme de Vitruve, le carré n’est pas inscrit dans le cercle mais ils sont tangents à la base.

Mettre deux bras et deux jambes en plus sur le même corps est une évocation de la décomposition du mouvement qui n’est pas une interprétation de notre époque, mais date de l’époque même de Léonard de Vinci. En effet Erwin Panofsky [6], a attiré l’attention sur un disciple de Léonard, Carlo Urbino, qui a décomposé des mouvements en une série d’instantanés [7].

_____

Au terme de ce parcours il faut revenir à Vitruve qui explique que s’il a présenté  les rapports entre les dimensions du  corps humain, c’est pour que l’architecte respecte aussi une proportion entre les composants de l’architecture et le monument dans son entier. Mais il ajoute ceci (chap. 1, 5) :

Nec minus mensurarum rationes,
Et néanmoins le système des mesures
quae in omnibus operibus videntur necessariae esse,
dont la nécessité se manifeste en toute œuvre
ex corporis membris collegerunt,
on l’a emprunté au corps humain
uti digitum, palmum, pedem, cubitum
comme le doigt, la main, le pied, la coudée.

 Ceci est un rappel que, au sens matériel même, l’homme est la mesure de l’homme ; que dans sa vie pratique, les mesures qu’il utilise sont issues de son corps. Il aurait pu noter que l’homo ad quadratum nous manifeste que la longueur des bras étendue, la brassée, est égale à la taille.

C’est cette perspective de l’architecte qui prend ses modules de construction sur le corps humain qu’a voulu retrouver Le Corbusier quand il a présenté le Modulor, silhouette humaine dont les différentes dimensions doivent permettre de construire un environnement propice à l’épanouissement de ceux qui s’y trouvent.

Le Corbusier veut faire la synthèse de l’hommo ad quadratum et de l’hommo ad circulum en imaginant le centre du corps (comme pour l’hommo ad circulum), situé au nombril mais qui est à la moitié de la hauteur bras levé, le geste du bras de l’homme étant prolongé vers le haut et inscrit dans une surface rectangulaire.

Notons pour terminer que la métrologie d’Ancien régime était issue de celle de l’Antiquité, basée sur la mesure de l’homme. Les Révolutionnaires lui ont donné pour base la terre et nous sommes fiers du système métrique. Le Corbusier qui n’était pas de nationalité française mais helvétique partageait moins ce sentiment et reprochait au système métrique sa prise de distance par rapport au corps humain et sa division décimale, si pratique pour la science mais qui nécessite d’autres divisions pour la vie courante (comme la progression par moitié et double pour les unités de monnaie).

  1. conservé à Venise, Galleria dell’Academia []
  2. De l’architecture . Livre I / Vitruve ; texte établi, trad. et commenté par Philippe Fleury, traduction de : De architectura libri X les Belles lettres, 1990 []
  3. Les dix livres d’architecture de Vitruve corrigés et traduits en 1684 par Claude Perrault, Liège, Mardaga, réédition en fac simile, 1996 []
  4. Argante Ciocci, Luca Pacioli e la matematizzazione del sapere nel Rinascimento, Bari, Cacucci, 2003, p. 79 []
  5. Ciocci, p. 82 []
  6. Erwin Panofsky, Le codex Huygens et la théorie de l’art de Léonard de Vinci, Flammarion, 1996, traduction et présentation de Daniel Arasse []
  7. Codex Huygens, Folio 27. Source : Sergio Marinelli,  The Author of the Codex Huygens,  Journal of the Warburg and Courtauld Institutes, Vol. 44 (1981), pp. 214-220 []