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Archimède compte les grains de sable de l’univers

Dans l’Arénaire, texte d’une vingtaine de pages, Archimède propose un système de numération qui permet de noter sans difficultés de très grands nombres. Ce texte, est intéressant à plusieurs titres :
– le lecteur d’aujourd’hui ne s’y sent pas dépaysé dans la mesure où il s’agit d’un raisonnement mathématique. La science moderne est héritière directe de cette science des anciens et si le même raisonnement est aujourd’hui plus économe en mots, la rigueur est la même. Le texte ne demande qu’un effort de lecture, non un dépaysement culturel,
– Archimède utilise pour son propos les connaissances astronomiques de son époque et nous propose aussi le récit d’une expérimentation précise, la mesure du diamètre apparent du soleil. Nous avons accès par ce biais aux pratiques scientifiques elles-mêmes et non pas seulement aux résultats comme dans le mécanisme d’Anticythère,
– la technique de mesure utilisée doit être examinée avec soin car il s’agit d’une méthode d’encadrement de la valeur recherchée, l’équivalent du calcul d’erreur de la physique moderne.

Le titre traditionnel en français, l’Arénaire, vient du titre latin arena qui signifie sable, traduction du grec psammitês. En langue anglaise, ce traité est connu comme étant le Sand-Reckoner, le « compteur de sable ». Il s’agit bien en effet de compter des grains de sable, et sur une grande échelle comme on va le voir.

***

Dans son adresse initiale au roi Gélon, fils de Hiéron, roi de Syracuse, Archimède s’empare d’un dicton populaire qui compare ce qui est incommensurable à du sable dont on ne peut compter les grains. Il se donne le défi de compter le nombre de grains de sable qui se trouvent dans l’univers au sens des anciens, c’est-à-dire le monde avec la terre au centre (ou le soleil, comme nous le verrons), et avec comme périphérie la « sphère des fixes » où sont les étoiles immobiles à l’encontre des planètes errantes. Le but d’Archimède est de mettre au point un système de numération qui permette d’exprimer des nombres, si grands soient-ils.

Son but est scientifique et non pratique car pour les besoins courants, on utilise la dizaine dekas,  la centaine hecatontas, le millier khilias, la myriade murias pour 10.000. Ce sont ces mots grecs qui seront d’ailleurs utilisés comme préfixes dans le système métrique (deca, hecta, kilo).

Pour donner un exemple parlant de l’efficacité de son système de numération, il va donc faire des estimations de la taille du monde mais à chaque étape, il n’hésitera pas à prendre un nombre plus grand que nécessaire (un majorant). Il développera les possibilités de son système à une échelle tellement grande que seule ses premiers développements en seront utilisés.

L’Arénaire permet aussi d’exposer avec rigueur ce qu’Archimède sait des dimensions du monde en tant qu’astronome, et il rappelle à cette occasion qu’il est le fils de l’astronome Phidias (cité dans le texte p. 137) [1]. L’Arénaire est divisé en quatre parties :

1) Hypothèses astronomiques

Qu’est ce qui est au centre de l’univers ? La croyance commune, nous dit Archimède, est que c’est la terre, mais il fait sien le système d’Aristarque de Samos qui pense que c’est le soleil. Est-ce qu’il l’adopte parce qu’il le juge astronomiquement plus conforme à la réalité, ou parce qu’il constate qu’un tel système entraine des dimensions du « monde » plus grande, ce qui est utile pour son exposé ? Il ne nous le dit pas.

Il admet que :

πρῶτον μὲν τὰν περίμετρον τᾶς γᾶς
D’abord le périmètre de la terre

εἶμεν ὡς τ μυριάδων σταδίων καὶ μὴ μείζω,
a la valeur de tau myriades de stades et pas plus. (p.136)

Le système savant de numération grecque [2] utilise les lettres de l’alphabet (en suivant l’ordre des lettres sémitiques dont elles sont issues) :
– pour les unités : alpha=1, bêta=2, gamma=3, delta=4, epsilon=5, digamma à la place du vaw sémitique et du f latin=6, dzêta=7, êta=8, thêta=9 ;
– pour les dizaines : iota=10, kappa=20, lambda=30, mu=40 ; nu=50, ksi=60, omicron=70, pi=80, koppa à la place du coph sémitique et du q des latins=90 ;
– pour les centaines : rhô=100, sigma=200, tau=300, upsilon=400, phi=500, khi=600, psi=700, oméga=800, sampi en utilisant le tsadé sémitique=900 ;
– pour les milliers on réutilise les marques des unités précédées d’une marque graphique (un iota souscrit).

Alors que nous découpons les grands nombres par tranches de trois chiffres (mille, million, etc.), la myriade est l’unité de base qui est représentée par des nombres de quatre chiffres. Pour les nombres plus grands, on peut d’abord donner le nombre de myriades, puis les unités : par exemple on connait un nombre très grand que l’on trouve dans Aristarque de Samos [3] qui se présente ainsi (les lettres des unités avec une marque à gauche désignent les milliers ;  M désigne la myriade) : ,ζροε M ,εωοε qui retranscrit en chiffres donne 7175 M 5875 ou encore 7175 x 10000 + 5875.
Ce système savant, n’est pas celui qu’Archimède va nous présenter et qui s’apparente plus à un exercice mathématique qu’à la proposition d’un système utilisable.

Donc le périmètre de la terre vaut tau = 30 myriades de stades soit en prenant 157,5m pour la valeur du stade, 30 x 10 000 x 0,1575 km = 47 250 km ; mais comme Archimède, pour montrer les possibilités de son système de numération veut un majorant, il prendra ultérieurement une valeur dix fois plus grande.

Après diverses autres hypothèses, il en vient au rayon apparent du soleil. Et là, il nous explique le problème en termes très précis. Le majorant large viendra plus tard, ce qui importe ici c’est la précision de la mesure obtenue par encadrement entre une valeur inférieure (le minorant) et une valeur supérieure (le majorant).

Voici d’abord la procédure utilisée pour le minorant :

 Τεθέντος οὖν μακροῦ κανόνος ἐπὶ πόδα ὀρθὸν ἐν τόπῳ κείμενον,
Disposant donc d’une grande règle sur un pied vertical situé en un lieu

ὅθεν ἤμελλεν ἀνατέλλων ὁ ἅλιος ὁρᾶσθαι
d’où le soleil levant [halios= dorien] pouvait être vu

καὶ κυλίνδρου μικροῦ τορνευθέντος
et un petit cylindre ayant été fait au tour,

καὶ τεθέντος ἐπὶ τὸν κανόνα ὀρθοῦ εὐθέως μετὰ τὰν ἀνατολὰν τοῦ ἁλίου
et disposé verticalement sur la règle aussitôt après le lever du soleil

ἔπειτ’ ἐόντος αὐτοῦ ποτὶ τῷ ὁρίζοντι καὶ δυναμένου ἀντιβλέπεσθαι
ensuite, alors qu’il est à l’horizon et pouvant être regardé

ἐπεστράφη ὁ κανὼν εἰς τὸν ἅλιον
la règle est tournée vers le soleil

καὶ ἁ ὄψις κατεστάθη ἐπὶ τὸ ἄκρον τοῦ κανόνος
et l’œil est placé à l’extrémité de la règle

ὁ δὲ κύλινδρος ἐν μέσῳ κείμενος τοῦ τε ἁλίου
alors le cylindre placé entre le soleil

καὶ τᾶς ὄψιος ἐπεσκότει τῷ ἁλίῳ
et les yeux masque le soleil

Ἀποχωριζόμενος οὖν [τοῦ κυλίνδρου] ἀπὸ τᾶς ὄψιος
en éloignant donc le cylindre des yeux

ἐν ᾧ ἄρξατο παραφαίνεσθαι τοῦ ἁλίου μικρὸν
sur lequel commence à se laisser voir un peu du soleil

ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ κυλίνδρου, κατεστάθη ὁ κύλινδρος
de chacun des deux [côtés] du cylindre, le cylindre est fixé. (p. 138)

En effet, si on laisse le soleil apparaitre sur les côtés du cylindre, l’angle obtenu est inférieur au diamètre apparent du soleil et, pour être certain de ce résultat, Archimède en diminue encore la valeur du fait que l’œil n’est pas ponctuel mais a une certaine largeur.

Le majorant est obtenu en faisant la même mesure mais en occultant complètement le soleil par le cylindre. Les résultats sont les suivants exprimés en parties d’angle droit :
– le majorant est noté ρξδ  soit donc  rho=100 + ksi=60 + delta=4. Donc le majorant est la 164e partie de l’angle droit (ou, pour prendre nos unités actuelles en divisant 90 degrés par 164  = 0,549°)
– le minorant est égal à σ, sigma= 200. Le minorant est la 200e partie d’un droit (ou 0,45°).

La valeur estimée aujourd’hui du diamètre apparent du soleil, qui varie quelque peu au cours de l’année, est comprise entre 0,525° et 0,542°. Les valeurs actuelles sont bien comprises dans les bornes indiquées par Archimède.

Chacun aujourd’hui peut refaire facilement l’expérience d’Archimède, non en regardant le soleil en face, mais la lune qui a le même diamètre apparent. Il suffit en en effet de tendre sa main vers la lune et de recouvrir son image (comme le cylindre de l’expérience d’Archimède) par un ongle des doigts de la main. D’une manière très approximative, la largeur de l’ongle du petit doigt est de 7 mm et la distance de l’œil à l’extrémité du doigt est de l’ordre de 70 cm. La circonférence est de (reprenons la valeur donnée par Archimède pour pi = 22/7) : 70 x 2 x 22/7 = 440 cm. La largeur de l’ongle de 0,7 cm représente 0,7 / 440 = 1 / 629 de la circonférence pour reprendre la méthode d’Archimède. On multiplie ce résultat par 360 pour avoir le résultat en degrés : 360 / 629 = 0,57° ; c’est une approximation très grossière par rapport à l’encadrement archimédien mais on a au moins un bon ordre de grandeur (un demi-degré).

Prenant toujours des précautions dans ses estimations, Archimède fait des corrections et conclut que le diamètre du soleil est plus grand que la 203e partie de l’angle droit ou, en notant en parties de la circonférence (égale à 4 droits), est plus grand que la 812e partie de la circonférence. Arrondissant encore, Archimède démontre que le diamètre du soleil est supérieur au côté d’un polygone régulier de 1000 côtés inscrit dans la sphère des fixes.

2) Mise en relation des hypothèses

Reprenant alors ses hypothèses précédentes sur les rapports entre les dimensions du soleil, de la lune et de la terre, il arrive au résultat que le diamètre du monde est inférieur à cent myriades de myriades de stades.

Il fait ensuite des estimations sur le nombre de grains de sable compris dans un volume donné. Dans un volume d’une graine de pavot il y a moins d’une myriade de grains de sable.

Sans entrer dans le détail des mesures, des estimations personnelles faites avec du sable de Fontainebleau manifestent que le nombre retenu par Archimède est plus de dix fois supérieur à une estimation raisonnable, ce qui est normal du fait de sa stratégie.

3) Le système de numération

Archimède dispose d’une estimation par excès du diamètre du monde et du nombre de grains de sable par unité de volume. Avant de calculer le nombre de grains de sable contenu dans la sphère des fixes, il présente son système de numération.

Dans le système de numération grecque qui note par groupes de quatre chiffres, le dernier nombre de ce système sera égal à 9999 M 9999 et le suivant  sera la myriade de myriade 1 M M (dans notre système d’exposants de base 10, la myriade 10 000 est égale à 104 et la myriade de myriade à 104 x 104 = 108).

Archimède appelle premiers nombres tous les nombres jusqu’à la myriade de myriades (M M ou 108) : il va continuer la numération en prenant maintenant une série de seconds nombres qui ont comme unité la myriade de myriades et qui permettent d’en compter une, deux, une myriade, jusqu’à une myriade de myriades : traduits dans notre système, ces seconds nombres vont de 108 jusqu’à 108 x 108 = 1016 (moins une unité).

Le système peut se prolonger avec les troisièmes nombres et continuer beaucoup plus loin jusqu’aux nombres dénommés μυριακισμυριοστῶν, que Mugler (p.146) traduit nombres « cent millionièmes » (102 x 106) ou « dix mille myriadèmes » faute de pouvoir dire : nombres « myriades de myriadèmes » (104 x 104). Notons que ces nombres pourraient servir de première unité pour une nouvelle « période » de nombres. Et l’opération peut se poursuivre, mais cela ne servira pas pour le comptage du sable.

 4) mise en œuvre du système pour compter le nombre de grains de sable du monde

 Τούτων δὲ τῶν μὲν ὑποκειμένων, τῶν δὲ ἀποδεδειγμένων,
De toutes ces choses soit admises, soit démontrées

τὸ προκείμενον δειχθήσεται
la proposition sera démontrée (p. 149)

Archimède va utiliser les valeurs mesurées par lui ou par d’autres (en prenant toujours le majorant) ou démontrées géométriquement ; il va enchainer tous ces résultats puis les situer dans son système de numération.

Le système actuel pour noter des nombres très grand utilise habituellement les puissances de 10. Par exemple 100, dix au carré, se note 102, 1 000=10 x 10 x 10 dix au cube ou 103, la myriade 10 000=104. Si on fait le produit de deux nombre, 1 000 fois 1 000 par exemple, il suffit d’ajouter les exposants : 103 x 103 = 1 000 000, un million ou 103+3 soit 106. Archimède commence par démontrer que ce que nous venons d’utiliser en base 10, vaut pour une base quelconque : basea x baseb = basea+b. On notera qu’en utilisant les exposants on note l’importance numérique du nombre et Archimède va faire de même.

Le raisonnement va maintenant se dérouler en huit étapes très répétitives après une étape initiale. C’est pratiquement le même texte qui se reproduit de page en page avec simplement des modifications des valeurs finales, ce qui nous permettra de mettre l’ensemble  sous la forme d’un tableau.

Etape initiale : soit la sphère de diamètre d’un doigt qui peut contenir au plus  dix myriades de myriades de grains de sable. Pour  visualiser les myriades, je divise les nombres par tranches de 4 chiffres séparés par un point: 10.0000.0000 (ou en abrégé 10 M M). Le nombre le plus à gauche est en 10e position à partir de la droite et c’est d’ailleurs identique en notation moderne où les tranches de trois chiffres sont séparées par un espace : 1 000 000 000 (= 109 : on observe une différence d’une unité entre la position à gauche et l’exposant).

Étape 1 : on passe d’un diamètre d’un doigt à un diamètre de 100 doigt. Le volume correspondant est multiplié par 100x100x100 =100.0000 cent myriades (100 M) où le chiffre le plus à gauche est en 7e position (106).

Voici le cœur de la méthode d’Archimède : quand on multiplie le résultat de l’étape précédente par ce multiplicateur, il suffit d’ajouter à la position du résultat précédent la position du multiplicateur (moins une unité) pour avoir la position du nouveau résultat (pour nous 109 x 106 = 1015, où le 1 est en 16e position suivi de 15 zéros). La nouvelle position sera donc 10 + (7-1) = 16.

Étapes suivantes : on assiste à la répétition mot à mot du texte. On passe d’une étape à la suivante en multipliant par 100 le diamètre, le volume par 1003 soit une augmentation de 6 positions.

On passe ainsi, par multiplications successives, par  les étapes suivantes où dans la colonne « Numération d’Archimède » M désigne la myriade ; les premiers nombres vont de 1 à M M-1, les seconds nombres (notés N2) vont de 1 N2 à (M M N2) -1 etc.

Etape Volume Position Notation moderne Numération d’Archimède (abrégée)
0 1 doigt 10 109 10 N2
1 100 doigts 16 1015 1 000 M N2
2 1 stade 22 1021 10 M N3
3 100 stades 28 1027 1 000 N4
4 1 myriade de stades (MS) 34 1033 10 N5
5 100 MS 40 1039 1 000 N5
6 1 MMS 46 1045 10 M N6
7 100 MMS (diamètre du monde, conception commune) 52 1051 1 000 N7
7bis 1MMMS (le texte passe de 7 à 8 directement) 58 1057 10 N8
8 100 MMMS (diamètre du monde, conception d’Aristarque) 64 1063 1 000 M N8

Il reste à nommer les nombres en utilisant les conventions établies plus haut. Rappelons que la nomination se fait par myriade de myriades. Dans la première les nombres vont de 1 à 9999.9999 et le nombre suivant est 1.0000.0000 avec le premier chiffre en 9e position, premier nombre des seconds nombres. Pour savoir où se situe le dernier chiffre en position 64, on compte combien de Myriades de Myriades (Huit zéros) se trouvent dans 64. Il y en a 8 et on est donc dans les huitièmes nombres. Le résultat final est :

Φανερὸν τοίνυν ὅτι τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος
Il est donc évident que la quantité de sable de grandeur

ἔχοντος ἴσον τᾷ τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαίρᾳ,
égale à la sphère des astres fixes

ἃν Ἀρίσταρχος ὑποτίθεται,
comme suggérée par Aristarque

ἔλασσόν ἐστιν ἢ ,α μυριάδες τῶν ὀγδόων ἀριθμῶν.
est inférieure à 1000 (=,alpha) myriades de huitièmes nombres (p. 156)

Ce que résume le tableau, c’est qu’Archimède fait ses calculs sur la valeur de la position et il somme les positions pour faire le produit des nombres. C’est que nous faisons maintenant en sommant les exposants et non les rangs : on peut dire qu’Archimède a initié d’une certaine façon ce que nous appelons aujourd’hui le calcul logarithmique.

L’Arénaire est en quelque sorte le premier article scientifique qui nous soit conservé car il se caractérise par un calcul de mesures physiques muni d’un encadrement et par un système de numération qui permet non seulement d’exprimer des nombres gigantesques mais qui donne un algorithme de calcul des produits par calcul sur la taille du nombre, repéré par sa position.

Il faut lire l’Arénaire. Le savoir mathématique est cumulatif : nous relisons ce texte avec plus de deux millénaires de recherche mathématique derrière nous. De ce fait, si nous suivons pas à pas le raisonnement, nous pouvons le réexprimer en termes modernes et nous le replaçons dans l’ensemble du savoir actuel. Comme il est rare de pouvoir comprendre un article d’une revue actuelle de mathématiques, lisons le premier de la série, il est à la portée de chacun s’il en fait l’effort.

***

Archimède pour conclure s’adresse au roi Gélon et lui disant que ce qu’il vient d’exposer  paraitra peu croyable au commun des mortels mais que ceux qui ont réfléchi sur ces problèmes les accepteront grâce à sa démonstration : c’est encore vrai pour les lecteurs actuels. La force contraignante d’un texte mathématique peut continuer à s’exercer, quelle que soit la distance temporelle.


Ce texte est issu d’un séminaire animé par Georges Guilbaud [4] (1912-2008) dans les années 80 au Centre de Mathématiques Sociales de l’EHESS. C’est l’occasion pour moi de lui rendre hommage : il fut le mathématicien de Lacan [5] et, continuant le travail de Condorcet, introduisit des Mathématiques sociales dans les sciences humaines. Ce fut un enseignant qui savait expliquer des concepts mathématiques à des non-mathématiciens en prenant les exemples les plus divers, du calendrier à l’analyse factorielle.

Merci aussi à Alain Bernard, Fabio Acerbi et Ramon Masià Fornos, spécialistes de l’histoire de la mathématique grecque.

Je signale enfin que mon article sur « L’avenir des humanités » paru dans le numéro de décembre 2012 de la revue Esprit, est désormais disponible sur mon site à cette adresse.

  1. les renvois sont faits à l’édition des Belles Lettres de Charles Mugler, Tome II d’Archimède, 1971 []
  2. Geneviève Guitel, Histoire comparée des numérations écrites, Flammarion, 1975, p. 243 []
  3. Pierre Dedron et Jean Itard, Mathématiques et mathématiciens, Magnard, 1959, p. 278 []
  4. Math. Sci. hum / Mathematics and Social Sciences (46e année, n° 183, 2008(3), p. 9-15 []
  5. Elisabeth Roudinesco, Histoire de la psychanalyse en France (la bataille de cent ans) 2 : 1925-1985, Le Seuil, 1986, p. 564-565 []

Cicéron et Archimède

Cicéron admirait Archimède : nous avions cité (à propos du mécanisme d’Anticythère) un texte où il évoque un globe qui aurait été construit par ce savant. Il explique dans les Tusculanes (Livre 5, chap. 13) comment lui Cicéron a, à Syracuse patrie d’Archimède, contribué à sortir de l’oubli ce grand homme.

Les Tusculanes sont des conférences qui se seraient déroulées dans une villa de Cicéron à Tusculum. Elles auraient été rédigées en 45 soit peu avant l’assassinat de César : leur but était de faire une présentation simple, compréhensible par beaucoup, de la philosophie morale qui était la sienne. Il y traite du fait que le sage ne craint ni la mort, ni la souffrance, ni le chagrin, ni les passions, ni la souffrance. Pour éviter qu’un tel programme ne soit par trop rébarbatif, Cicéron introduit dans son texte des digressions telles que celle-ci concernant Archimède.

Il vient de raconter l’histoire de Denys, tyran de Syracuse, malheureux dans l’abondance car craignant pour sa vie (c’est ici que se place l’histoire fameuse de l’épée de Damoclès). La mention de Syracuse permet à Cicéron de placer un souvenir personnel concernant cette ville :

ex eadem urbe
de cette même ville
_____humilem homunculum a pulvere et radio
_____ un humble petit homme écrivant sur le sable avec sa règle
excitabo,
je ferai surgir
_____qui multis annis post fuit, Archimedem.
_____qui vécut de nombreuses années plus tard, Archimède.

Pulvis et radius sont les instruments du géomètre, traduits traditionnellement par « poussière et baguette » mais on ne peut pas tracer de figures géométriques sur de la poussière alors qu’on peut le faire sur du sable humide en se servant d’un objet pour tracer, une baguette ou une règle.

Cuius ego quaestor
dont, alors que j’étais questeur
_____ignoratum ab Syracusanis,
_____ignoré des Syracusains
_____cum esse omnino negarent,
_____alors qu’ils niaient complètement son existence
_____saeptum undique et vestitum vepribus et dumetis
_____[c’était une] enceinte entièrement couverte d’épines et de ronces
indagavi sepulcrum.
j’ai cherché le tombeau

Tenebam enim quosdam senariolos,
Je connaissais en effet quelques fragments de vers
quos in eius monumento esse inscriptos acceperam,
dont j’avais su que sur son monument il y avait des inscriptions
qui declarabant in summo sepulcro
qui faisaient voir en haut du tombeau
sphaeram esse positam cum cylindro.
une sphère associée à un cylindre.

En effet Archimède, dans la lettre introductive à son traité « de la sphère et du cylindre », indique que parmi les résultats qu’il a obtenus, un de ceux qu’il juge important est celui concernant les rapports numériques entre la sphère et le cylindre

Ego autem cum omnia conlustrarem oculis
Quant à moi donc, alors que je fouillais tout des yeux,
-est enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum-,
(il y a en effet près de la porte d’Agrigente un grand nombre de tombeaux)
animum aduerti columellam non multum e dumis eminentem,
j’aperçois une colonne pas très grande s’élevant au-dessus des ronces
in qua inerat sphaerae figura et cylindri.
et sur laquelle était le figure d’une sphère et d’un cylindre

Atque ego statim
Alors moi immédiatement
_____Syracusanis – erant autem principes mecum –
_____aux Syracusains – en effet les autorités étaient avec moi –
dixi
je dis
_____ me illud ipsum arbitrari esse, quod quaererem.
_____qu’il me semblait bien que c’était ce que je cherchais.

lnmissi cum falcibus.
Des [gens] nombreux envoyés  avec des faux,
multi purgarunt et aperuerunt locum
dégagèrent et rendirent accessible l’endroit.

Quo cum patefactus esset aditus,
quand l’accès fut libre
ad adversam basim accessimus.
nous accédons au soubassement opposé.

Apparebat epigramma
L’inscription apparut
_____exesis posterioribus partibus
_____[étant] rongés dans leur extrémité
versiculorum  dimidiatum fere
presque la moitié des vers

Ita nobilissima Graeciae civitas,
Ainsi la plus noble cité de la Grèce,
quondam vero etiam doctissima,
un jour même la plus savante,
sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset,
aurait ignoré le monument  du plus ingénieux de ses citoyens
nisi ab homine Arpinate didicisset.
si elle n’avait pas été instruite par un natif d’Arpinum.

Sed redeat, unde aberrauit oratio:
Mais revenons au point où notre exposé a dévié…

Archimède estime donc important le résultat qu’il a obtenu concernant la sphère et le cylindre : de quoi s’agit-il ? La réponse se trouve dans le traité De la sphère et du cylindre [1] où, dans son introduction il donne plusieurs résultats qu’il estime importants, dont celui-ci (transcription : lettres de l’alphabet latin + êta = ê, thêta = th, phi = ph, khi = kh, psi = ps, oméga = ô, h pour l’esprit rude) :

hoti pasês sphairas
que [pour] toute sphère
ho kulindros
le cylindre
ho
lui,
_____basin
_____la base
men ekhôn
ayant en effet
_____isên tô megistô kuklô
_____égale au grand cercle
_____tôn en tê sphaira
_____de ceux qui sont dans la sphère,

(un grand cercle correspond à la circonférence)

hupsos de ison tê diametrô tês sphairas
et de hauteur égale au diamètre de la sphère
autos te hêmiolios estin tês sphairas,
est lui-même une fois et demi la sphère
kai hê epiphaneia autou tês epiphaneias tês sphairas
et [de même] pour sa surface et la surface de la sphère

On notera que l’épiphanie d’un volume est ce qui est visible, c’est-à-dire sa surface.

Ce résultat qui semble important à Archimède nous parait banal, en effet :
– volume d’une sphère = 4/3 π R3
– volume d’un cylindre = base x hauteur :
__la hauteur c’est ici le diamètre de la sphère, soit 2 R, le volume est égal à π R2 x 2 R, soit 2 π R3

Volume cylindre / volume sphère = 2 π R3 / 4/3 π R3 = 6/4 ou 3/2  soit une fois et demi.

De même la surface de la sphère = 4 π R2 :
Surface du cylindre : base inférieure = π R2 ; côté 2 π R x 2 x R = 4 π R2 ; sommet π R2 soit au total 6 π R2. Le rapport est le même 3/2 soit une fois et demi.

Pourquoi ce qui nous semble simple à démontrer était aux yeux d’Archimède le résultat dont il était le plus fier ? On peut légitimement parler de progrès des mathématiques car ce qui avait été long et difficile à obtenir tient pour nous dans le creux de la main.

Georges Guilbaud [2] souligne aussi qu’il faut distinguer les textes techniques et les textes mathématiques. Dans toute civilisation, ceux qui travaillent sur des objets ronds, des colonnes, des vasques, des roues, sont confrontés au problème de savoir, pour un diamètre donné, quelle est la longueur du périmètre et ils résolvent le problème en utilisant une valeur approchée. Il est probable que « le triple plus un septième » devait être connu avant Archimède. Où il se signale en tant que mathématicien, c’est en démontrant que le rapport peut être encadré par deux valeurs par excès et par défaut et que, si l’on poursuit le processus, on peut arriver à la précision que l’on veut.

Encadrement de π par Archimède (La mesure du cercle):

pantos kuklou hê perimetros
la [ligne] périmètre de tout cercle

(la ligne=grammê f. est sous-entendue)

tês diametrou triplasiôn esti
est le triple du diamètre
kai eti huperekhei
et de plus l’emporte
elassoni men ê hebdomô merei tês diametrou
par soit, d’une part, moins  de sept parties du diamètre
meizoni de ê deka hebdomêkostomonois
par soit, d’autre part, plus de dix soixante et onzièmes

Traduction de G. Guilbaud  (mathématicien qui dit vouloir traduire en pastichant une écriture archaïque) :

Pour tout cercle
le périmètre dépasse
le triple du diamètre
de moins d’un septième
mais de plus de
dix septante-et-unième [3]

En notations modernes on peut dire  que le rapport de la circonférence au diamètre est compris
entre 3 + 1/7 (ou 22/7) par excès et 3 + 10/71 (ou 223/71) par défaut ;
ou encore 22/7 = 3,1429 > π > 223/71 = 3,1408

 

Archimède obtient ce résultat en encadrant le cercle par des polygones inscrits ou circonscrits au cercle et en augmentant le nombre des polygones. Le graphique ci-joint [4] en propose une méthode pour faire comprendre le processus :

L’unité d’aire est le quart de cm2 ; le quart de cercle est divisé en 6 régions, de A à F. L’aire de A + B + D = 240, l’aire de F = aire de C . On peut encadres l’aire de F par les valeurs 24 et 39, l’aire de F par les valeurs 6 et 13 et l’aire totale par les valeurs 294 et 331. On en déduit 2,94 < π < 3,31, ce qui est assez grossier mais qui est destiné à faire comprendre la méthode. L’emploi de la même méthode avec des carreaux de 1 mm2 donne : 3,1072 < π < 3,1612

– Pourquoi l’usage de la lettre grecque π ?

L’usage d’utiliser la notation de la lettre π date du début du 18e siècle : à la fin du 17e Isaac Barrow utilise des abréviations tirées du grec : δ signifie diametros, π signifie perimetros. Au début du 18e siècle William Jones utilise π pour désigner 3,14159 etc. Cette notation est reprise dans ce même siècle par Euler qui va assurer son succès [5].

***

On s’étonnera peut-être que le texte grec ait été transcrit en caractère latin : la raison en est que le but de l’enseignement des langues anciennes doit être d’aider à la compréhension de l’époque présente où, tributaires des latins pour la transmission du grec, nous utilisons leurs caractères qui sont devenus les nôtres (en particulier ph pour phi où la notation est purement arbitraire, contrairement à th pour thêta et kh pour khi). Si à la Renaissance, le grec est redevenu une source directe pour la création lexicale, de nombreux mots grecs introduits en français au Moyen Âge, ont été importés à travers le latin. Parmi ceux-ci citons, pour la simple lettre A : agronome, anarchie, antipode, anthrax, apostasie, apostat, architectonique, aristocratie, asthmatique [6].

De même qu’il faut connaitre le latin du français, de même il faut connaitre les mots grecs du français et la transcription en caractères latins est particulièrement parlante dans le domaine de la géométrie.


Actualité : je signale le dossier « Refaire les humanité » de la revue Esprit de décembre (voir le sommaire du numéro sur son site) et dans lequel je présente un article « L’avenir des humanités » dont voici le résumé (et le début de l’article ici) :

« La culture classique ne peut plus aujourd’hui être considérée comme un « héritage » à réactiver. Il faut la réapprendre, non comme un patrimoine, mais comme une manière de penser le monde dans sa globalité, sans se laisser enfermer dans des savoirs techniques qui ont tendance à devenir hégémoniques ; cela suppose de repenser les méthodes d’enseignement du français, du latin, etc., pour faire contribuer ces matières à une éducation à la démocratie. »

Je reprends le débat sur le livre de Pierre Judet de La Combe et Heinz Wismann, l’Avenir des langues. Repenser les Humanités, (Cerf, 2004) en examinant non seulement les recommandations finales sur l’enseignement (comme je l’avais déjà fait sur ce carnet), mais le cœur de l’ouvrage, c’est-à-dire comment il faut se positionner par rapport au passé.

Pour citer ce billet : Philippe Cibois, « Cicéron et Archimède », La question du latin, 9 décembre 2012 [En ligne] http://enseignement-latin.hypotheses.org/6391

  1. Archimède, texte établi et traduit par Charles Mugler, tome premier, Les Belles Lettres, 1970 []
  2. Georges Th. Guilbaud, Leçons d’à peu près, Christian Bourgois, 1985 []
  3. Leçons d’à peu près, p.24 []
  4. Numéro spécial pi, supplément au Petit Archimède, n°64-65, mai 1980, p.146 []
  5. Petit Archimède, n°64-65, p.264 []
  6. Ferdinand Brunot, Histoire de la langue française des origines à nos jours, Tome I, nouvelle édition Armand Colin, 1966, p. 576 []

Le mécanisme d’Anticythère

On connait bien l’ile grecque de Cythère, destination d’embarquement restée célèbre (bien que l’expression soit un peu vieillie) car Vénus y avait un temple. Mais on connait moins Anticythère (aujourd’hui Antikythira) étymologiquement « en face de Cythère », petite ile inhospitalière qui lui fait face.  Le trafic des navires entre la Grèce et Rome s’écoulait entre ces deux iles et Cicéron y passa lors de son retour de Rhodes où il était venu entendre les maitres de l’éloquence « asiatique » ( 77 av. J.C.). La passe était dangereuse et à la même époque un navire lourdement chargé y fit naufrage.

En 1900 des pécheurs d’éponge trouvent à 40 mètres de profondeur une épave où ils repèrent des bronzes et des statues antiques. A titre de preuve ils remontent un bras de bronze et, ne voulant pas faire de fouille illégale, vont prévenir les autorités à Athènes. Les mêmes plongeurs reviennent avec un archéologue pour une campagne de plongée qui dure de novembre 1900 à septembre 1901 : malgré plusieurs accidents de plongée (la plongée se fait en apnée) de nombreuses pièces sont remontées, statues (un éphèbe, un philosophe), des poteries, des amphores. Tous ces objets sont déposés au Musée national grec d’Athènes. Continuer la lecture de Le mécanisme d’Anticythère