Ératosthène mesure la circonférence terrestre

Nommé directeur de l’illustre bibliothèque d’Alexandrie vers 245 avant J.-C., Ératosthène a mené des travaux scientifiques au sein du temple dédié aux Muses, le Muséum, où, avec d’autres savants, le culte consistait à faire de la recherche pour la plus grande gloire des rois d’Égypte (les lagides), eux-mêmes successeurs des généraux d’Alexandre.

On ne dispose pas de texte de lui mais sa méthode pour mesurer la circonférence terrestre nous est connue par Cléomède qui enseignait la philosophie stoïcienne de la nature au premier ou deuxième siècle après J.-C. Une des versions de son texte grec nous étant fournie avec une traduction latine, nous la donnerons après une traduction française [1]. Nous essaierons ensuite de refaire l’expérience aujourd’hui et elle est assez simple à faire.

Suivons le texte de Cléomène [2] et expliquons-le au fur et à mesure :

ὑπό τῷ αὑτῷ κεῖσθαι φησι μεσημβρινῷ Συήνην καὶ Ἀλεξάνδρειαν
Syène et Alexandrie sont situées, dit-il [Ératosthène], sous le même méridien.
Sub eodem meridiano esse ait Syenen et Alexandriam.

Ce n’est pas tout à fait exact :

Assouan, nom actuel de Syène, se trouve à quelques degrés à l’est du méridien d’Alexandrie.

Φησί τοίνυν, καὶ ἔχει οὕτος, Συήνην ὑπὸ τῷ θερινῷ τροπικῷ κεῖσθαι κύκλῳ
Il dit donc, et c’est le cas, que Syène est située sous le cercle du tropique d’été.
Ait igitur, et ita sane est, Syenen sub aestivo tropico esse.

Là encore, ce n’est pas tout à fait exact, Assouan se trouve un peu au nord du tropique du cancer.

ὁπόταν οὖν ἐν Καρκίνῳ γενόμενος ὁ ἥλιος καὶ θερινάς ποιῶν τροπάς
Quand donc le soleil dans le Cancer faisant son demi-tour
Quando igitur sol in Cancro aestivas faciens reversiones,

Faire son demi-tour signifie que le soleil est au solstice d’été

ἀκριβῶς μεσουρανήσῃ
[passe] à l’exact milieu du ciel
ad medium plane coelium pervenerit,

C’est à dire qu’il passe au méridien

ἄσκιοι γίνονται οἱ τῶν ὡρολογίων γνώμονες ἀναγκαίως
il est obligatoire que les gnomons des horloges n’aient pas d’ombre
horologiorum gnomones umbra careant necesse est,

κατά κάθετον ἀκριβῆ τοῦ ἡλίου ὑπερκείμενον
du fait que le soleil se trouve au-dessus, exactement à la verticale
sole supra eos ad perpendiculum posito.

Examinons le vocabulaire :
– ὡρολογίον, horloge, cadran solaire, étymologiquement : appareil qui dit l’heure
– γνώμων  (de γιγνώσκω connaitre) : appareil (ou personne) qui examine donc tige, style ou index d’un cadran solaire.

A Syène comme à Alexandrie, le cadran solaire sera constitué par un bassin sphérique (appelée σκάφη scaphe) à la perpendiculaire de laquelle est fixée une tige, le gnomon.

Au solstice d’été, dans un endroit situé à proximité du tropique du Cancer, et c’est le cas pour Syène, une tige verticale ne donne pas d’ombre (et le soleil éclaire le fond des puits) puisqu’il est au zénith.

ἐν Ἀλεξανδρείᾳ δέ τῇ αὐτῇ ὥρᾳ
Mais à Alexandrie à la même heure
In Alexandria vero eadem illa hora,

ἀποβάλλουσιν οἱ τῶν ὡρολογίων γνώμονες σκιάν
les gnomons des cadrans solaires projettent une ombre
horologiorum gnomones  umbra jaciunt

ἅτε πρός τῇ ἄρκτῳ μᾶλλον τῆς Συήνης ταύτης τῆς πόλεως κειμένης
du fait que cette ville est située plus au nord que Syène
eo quod ad septemtrionem magis haec urbs, quam Syene sita sit.

Littéralement, du fait que cette ville est du côté de l’ourse plus que Syène, l’ourse en question est l’ourse de la constellation, l’étoile polaire.

ἡ δέ γε ἐν τῇ σκάφῃ πεντηκοστόν μέρος εὑρίσκεται τοῦ οἰκείου κύκλου
On découvre que ce qui est dans la sphère [du cadran solaire] comme étant la cinquantième partie de sa circonférence
Quae autem in scaphe est quinquagesima pars sui orbis esse deprehenditur.

Graphique montrant l’observation de l’ombre du soleil sur le dispositif de mesure à Alexandrie : le 50e de la circonférence correspond à 360/50 soit 7,2° (valeur qui est exagérée sur le graphique pour une meilleure compréhension).

Le texte démontre ensuite géométriquement ce qui est résumé par le graphique suivant :

L’angle d’un 50e de la circonférence observée dans la cuve du cadran solaire à Alexandrie est le même que l’angle fait, depuis le centre de la terre entre la latitude de Syène et celle d’Alexandrie. La distance sur la circonférence terrestre (appelé dans la suite un « grand cercle »), représente un 50e de l’ensemble. Si on connait la distance entre Syène et Alexandrie, on pourra en déduire la taille de la terre par une simple multiplication par 50.

δεῖ οὖν ἀναγκαίως
Il faut donc,
Oportet igitur

καὶ τό ἀπό Συήνης εἰς Ἀλεξάνδρειαν διάστημα πεντηκοστόν εἶναι
comme entre Syène et Alexandrie l’écart est la cinquantième partie
intervallum, quod inter Syenen et Alexandriam patet,

μέρος τοῦ μεγίστου τῆς γῆς κύκλου
du grand cercle de la terre
maximi in terra circuli quinquagesimam partem esse

καὶ ἔστι τοῦτο σταδίων ,ε
et que cette distance est de 5 000 stades,
Id autem quinque millium stadiorum est

ὁ ἄρα σύμπας κύκλος γίνεται μυριάδων κε,
que le cercle entier soit de 25 myriades.
Totius itaque circulus ducentorum quinquaginta millium erit.

καὶ ἡ μὲν Ἐραστοσθένους ἔφοδος τοιαύτη
Voici donc dans son ensemble le raisonnement d’Ératosthène.
Atque haec Eratosthenis ratio est.

Notons que dans ce texte, deux nombres sont représentés par des lettres : je redonne ici ce qui avait été proposé pour le texte sur l’Arénaire d’Archimède dans un précédent billet :

Le système savant de numération grecque  utilise les lettres de l’alphabet (en suivant l’ordre des lettres sémitiques dont elles sont issues) :
– pour les unités : alpha=1, bêta=2, gamma=3, delta=4, epsilon=5, digamma à la place du vaw sémitique et du f latin=6, dzêta=7, êta=8, thêta=9 ;
– pour les dizaines : iota=10, kappa=20, lambda=30, mu=40 ; nu=50, ksi=60, omicron=70, pi=80, koppa à la place du coph sémitique et du q des latins=90 ;
– pour les centaines : rhô=100, sigma=200, tau=300, upsilon=400, phi=500, khi=600, psi=700, oméga=800, sampi en utilisant le tsadé sémitique=900 ;
– pour les milliers on réutilise les marques des unités précédées d’une marque graphique (un iota souscrit).

La première occurrence est ,ε où la virgule avant le epsilon (soit 5) correspond à la marque graphique des milliers (soit 5000).

La seconde occurrence est κε ou kappa correspond à 20 et epsilon à 5 (soit 25) mais les unités sont les myriades, soit 10 000 multiplié par 25 = 250 000.

Cette valeur de la circonférence terrestre est obtenue en multipliant la distance estimée entre Syène et Alexandrie de 5 000 stades par 50 puisqu’il s’agit du 50e de la circonférence terrestre.

Reste à estimer la valeur du résultat obtenu par Ératosthène à l’aune de la valeur de 40 000 km et pour cela il faut savoir quelle valeur avait le stade utilisé par Ératosthène . On n’en sait rien : Paul Couderc dans son Histoire de l’astronomie fait l’hypothèse que le stade égyptien de 157,50 m a été utilisé ce qui donne une évaluation en km de 250 000 x 0,1575 = 39 375 km [3].

Si l’on prend comme majorant des différentes valeurs du stade dans l’antiquité la valeur de 200 m, l’évaluation serait de 250 000 x 0,200 = 50 000 km  mais comme nous sommes dans l’incertitude sur la valeur du stade, la seule chose que l’on puisse dire est que l’ordre de grandeur trouvé par Ératosthène était correct malgré plusieurs erreurs géographiques.

A propos de la distance entre Syène et Alexandrie : la valeur indiquée de 5 000 stades est un nombre rond peut-être obtenu par la valeur du nombre de jours de voyage, habituel entre ces deux villes. Quand à l’angle d’un 50e de circonférence, c’est aussi un nombre arrondi [4]. Ératosthène n’a pas encadré son résultat comme le fera plus tard Archimède, mais il donne le sentiment, en utilisant des nombres ronds, de proposer un simple ordre de grandeur.

Son résultat semble très correct mais son exactitude est due à la compensation de nombreuses erreurs de mesure comme celles que l’on a pu voir sur la carte : Alexandrie et Syène ne sont pas sur le même méridien et Syène est un peu au nord du tropique du Cancer.

Peut-on refaire l’expérience d’Ératosthène  ?

Cela semble assez facile : si l’on part de Paris, un atlas nous donne pour la distance entre Paris et le tropique du Cancer la valeur de 2 820 km.

Par ailleurs si l’on construit un cercle armillaire comme dans le billet sur cette question, on constate que la hauteur du soleil au solstice d’été est de 65°. Cependant comme dans l’observation d’Alexandrie, on mesure l’écart à la verticale, pour obtenir la valeur correspondante à Paris (où l’on observe l’angle par rapport à l’horizontale), il faut prendre le complémentaire soit 90 – 65 = 25°.

Vingt-cinq degrés représentent une partie de la circonférence, exactement 360 / 25 soit la 14,4e partie. Si l’on multiplie cette partie de la circonférence terrestre par la valeur estimée entre Paris et le tropique du cancer de 2 820 km on a pour la totalité de la circonférence 14, 4 x 2 820 = 40 608. Soit une erreur de 608 km par excès alors qu’Ératosthène avait fait une erreur de 625 km par défaut : match nul peut-on dire mais qui n’a aucun sens pour des raisons évidentes.

Pour avoir une valeur exacte de le hauteur du soleil à Paris on peut consulter le site de l’Observatoire de Paris qui nous donne pour le solstice de 2019 la valeur de la hauteur du soleil de 64° 36’ soit en portions de degrés 64 + (36 / 60) = 64,6°, une partie de circonférence de 14,2 et une circonférence de 39 969 km soit une erreur par défaut de 31 km due aux diverses imprécisions sur la distance et sur l’angle.

***

S’il est facile aujourd’hui de juger en unités modernes la valeur trouvée par Ératosthène, c’est parce que l’on peut depuis la Révolution donner au mètre une valeur qui est en rapport direct avec la circonférence terrestre. Comme je le montrerai dans un futur billet, Delambre et Méchain ont refait à leur manière l’expérience d’Ératosthène à la fin du 18e siècle.

Annexe
Le latin scientifique existe encore

Le texte grec de Cléomède est donc, comme je l’ai indiqué en note 1, publié par Robert B. Todd en 1990 chez Teubner à Leipzig mais ce volume, partie de la BIBLIOTHECA SCRIPTORVM ET ROMANORVM TEVBNERIANA est entièrement édité en latin pour toute la partie critique.

A la fin de la préface, l’auteur présente ses remerciements de la manière suivante :

Restat ut gratias agam L. Benakis qui particulam editionis suae Commentarii M. Pselli in Aristotelis Physica nondum iuris publici factae (infra Testimonia Byzantina 1) benignissime mecum communicavit ; R. Reneham qui locos permultos acri ingenio pescrutatus est ; custodis instituti quod lingua Francogallica Institut de Recherche et d’Histoire des textes vocatur qui saepe praesto erant ; per beneficia instituti quod anglice Social Sciences and Humanities Research Council of Canada vocatur imagines lucis ope confectas emere potui necnon multos codices in bibliothecis ipsis inspicere.

Vancouveropoli in Provincia Columbiae Britannicae,
m. Iulio a. 1988
R. B. T.

  1. - texte grec : Cleomedis Caelestia, ed. Robert Todd, Leipzig, B.G Teubner, 1990 ;
    – traduction française : Théorie élémentaire / Cléomède, teste présenté, traduit et commenté par Richard Goulet, Vrin, 1980 ;
    – traduction anglaise : Cleomedes’ lecture on astronomy, a translation of The Heavens with an introduction anc commentary by Alan C. Bowen and Robert B. Todd, Berkeley, UCP, 2004 ;
    – traduction latine de la Renaissance sur Gallica []
  2. en omettant quelques points techniques : le texte correspond aux pages 123 et 124 de Goulet, 35 à 37  pour l’édition de Todd chez Teubner []
  3. Paul Couderc, Histoire de l’astronomie, PUF, 1974, coll. « Que sais-je ? », n°165 []
  4. James Evans, Histoire et pratique de l’antiquité ancienne, Les Belles Lettres, 2016, p. 68-69 []

2 réflexions sur « Ératosthène mesure la circonférence terrestre »

  1. Chère carnetière, cher carnetier,
    Nous avons particulièrement apprécié votre billet. Pour que la communauté puisse plus aisément le découvrir, nous avons décidé de le mettre en Une d’Hypothèses (sur fr.hypotheses.org et hypotheses.org).
    Bien cordialement,
    L’équipe d’Hypothèses

  2. Passionnant ! Merci. Je vais traiter de ce point avec mes élèves de 3ème en cours. Ils ont écrit cette année un livre, Le Mathyrinthe, sur ce thème ; grec et maths.

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