La méthode d’Ératosthène : suite

Reprendre la méthode d’Ératosthène s’est fait d’une manière très explicite dès le 17e siècle comme en témoigne cet ouvrage de l’érudit néerlandais Willebrord Snell ou Snellius (1580-1626) qui fait paraitre en 1617 l’ouvrage ci-contre où il se présente comme « l’Ératosthène batave » qui veut montrer par son De Terrae ambitus vera quantitate  la dimension réelle de la circonférence terrestre [1] . A cette fin, il utilise un procédé, la « triangulation » qui consiste à remplacer l’appréciation difficile de longues distances par celle beaucoup plus aisée d’angles reliant des édifices de hautes tailles dans des villes à différents endroits du pays de façon à former des triangles contigus.

Voici la triangulation (reproduite sur une carte actuelle) réalisée entre au Nord Alkmaar et au Sud Bergen op Zoom

Une fois ces angles observés, il reste deux opérations à effectuer :
1 – mesurer sur le terrain une distance (dite « base ») qui permettra par application des règles de la trigonométrie de déterminer la valeur de tous les côtés des autres triangles [2] . Cette base des calculs est ici la distance entre Leiden et Den Haag (en rouge sur la carte). Cependant, comme cette base était elle-même d’une trop grande longueur pour une mesure précise, une triangulation locale permit de réduire la distance à mesurer sur le terrain. Plusieurs longueurs furent mesurées sur des sols gelés avec une chaine d’arpenteur sur des distances de plusieurs centaines de mètres à plusieurs milliers de mètres et plusieurs bases furent calculées à titre de vérification ;
2 – mesurer la différence de latitude entre la ville la plus au nord (Alkmaar) et la ville la plus au sud (Bergen op Zoom) en observant la différence de hauteur d’une même étoile lors de son passage au méridien.

Ces opérations effectuées, on peut par calcul déterminer toutes les distances entre points d’observation et finalement la distance du méridien entre Alkmaar et son intersection avec la hauteur en latitude de Bergen op Zoom. Le résultat final est le suivant : à un degré de méridien correspond à 28 500 perches soit, avec une valeur de la perche locale (rood) égal à 3,766 m, un degré de méridien correspond à 28 500 perches x 3,766 m = 107 331,0 m

Pour la circonférence totale de la terre, on multiplie ce résultat par 360, ce qui nous donne, converti en km : 38 639 km soit une erreur de 1 361 km ou 3,4% par rapport à 40 000 km

Ce résultat est bien difficile à comparer avec celui d’Ératosthène car on ne connait pas la valeur exacte du stade que celui-ci utilisait. Par contre on peut le comparer avec une mesure faite un siècle auparavant en France.

La mesure entre Paris et Amiens

En 1550, le médecin de Henri II, Jean Fernel constate que du point de vue astronomique, Paris et Amiens sont sur le même méridien et qu’un degré de latitude les sépare. Il ne lui reste donc qu’à mesurer la distance entre les deux villes et à cette fin il utilise un procédé connu depuis l’antiquité pour mesurer les distances qui consiste à compter les tours de roues sur un parcours (avec un dispositif mécanique) et à les multiplier par la circonférence de la roue. Quelques années auparavant, Léonard de Vinci en avait imaginé plusieurs versions

Aujourd’hui, ce dispositif nommé odomètre, « mesureur de chemin », est toujours utilisé par les arpenteurs.

On connait les résultats de Fernel par un astronome postérieur d’un siècle, Monsieur Picard [3], qui vers 1670 va vouloir reprendre le même problème de la mesure entre Paris et Amiens mais en utilisant des méthodes et des instruments beaucoup plus précis. Il réalise une triangulation entre Sourdon (à une trentaine de km au sud d’Amiens) et le lieu-dit de Malvoisine (près de Champcueil dans l’Essonne).
Pour faire ses mesures d’angles entres tours (comme Monthléry) et clochers ou le haut du pavillon de Malvoisine [4], il utilise des instruments plus précis :

Source : Picard, Mesurer la terre, Gallica

Sur ce « quart de cercle » on voit deux lunettes, celle de droite est fixe, celle de gauche est mobile et l’angle qu’elle fait avec la première peut être lu sur le quart de circonférence. On peut ainsi viser simultanément deux points de repères et mesurer l’angle qui les sépare comme ci-dessous :

Source : Picard, Mesurer la terre, Gallica

Pour observer la différence de latitude entre les deux extrémités de la triangulation, Picard mesure la hauteur d’une même étoile dans ces deux lieux avec une longue lunette lors de son passage au méridien. La différence n’est due qu’à la latitude. Cette méthode est plus précise que l’observation de l’étoile polaire qui n’est pas tout à fait au pôle. Comme base, il utilise une mesure de longueur faite entre Villejuif et Juvisy.

A la fin de ses calculs (Mesure de la terre p. 23) il arrive à la valeur de 57 060 toises pour un degré de méridien. En multipliant par la valeur de la toise (dite du Châtelet) qui vaut 1,9490363 m, on a un degré égal à 111,212 km et la circonférence de la terre (en multipliant par 360) égale à 40 036,3 km soit cette fois une erreur inférieure à 1 pour mille.

C’est un beau résultat, mais ce qui irrite Picard c’est que le résultat auquel Fernel est arrivé un siècle plus tôt (Picard p. 27) est égal à 56 746 toises soit une différence de 0,5% par rapport à ses propres mesures. Et Picard conclut visiblement un peu amer : « Il y a sans doute de quoi s’étonner, que par une mesure aussi grossière que la sienne, il ait approché si près de la mesure que tant d’observations nous ont fait conclure ». Mais Fernel ne pouvait pas être certain de son résultat tandis que Picard connaissait la précision de ses propres mesures. Plus tard, la méridienne de Picard sera complétée par Cassini pour l’établissement de sa célèbre carte.

***

Je viens de procéder à des estimations de précision pour les mesures de Snell et de Picard et j’ai pris comme référence la valeur de 40 000 km : ce faisant j’ai implicitement fait référence à la mesure qui à la Révolution va conduire à prendre comme unité de mesure le mètre, défini à partir de la mesure de la terre. C’est cette mesure que nous allons maintenant étudier.

La mesure entre Dunkerque et Barcelone pendant la Révolution

La diversité des unités de mesure était un frein au développement des échanges et dès 1790 l’Académie des sciences fut chargée d’uniformiser les poids et mesures. Plutôt que de choisir une unité déjà existante ils firent le choix de prendre une référence, dénuée de tout arbitraire et qui pourrait être acceptée par tous les pays, qui serait la dix millionième partie du quart du méridien terrestre, définition aujourd’hui bien connue. Il fut décidé alors de faire une mesure plus précise du méridien terrestre en réalisant une triangulation qui aille depuis Dunkerque jusqu’à Barcelone, cette dernière ville étant choisie au sud des Pyrénées afin d’éviter les perturbations que les montagnes entrainent dans les mesures.

L’opération fut faite de 1792 à 1798 par Delambre et Méchain, c’est-à-dire en pleins troubles révolutionnaires : par exemple la proclamation de la République en 1792 a invalidé les lettres de recommandation aux autorités locales qui devaient aider au travail de mesure car elles émanaient encore du roi. En 1793 toutes les académies sont dissoutes par la Convention (mais une Commission des Poids et Mesures permet la poursuite des travaux). Cette même année, après l’exécution du roi, l’Espagne entre en guerre contre la France alors que Méchain est à Barcelone pour faire ses mesures. Il ne pourra en réaliser qu’aidé par une général espagnol qui est maitre des deux côté des Pyrénées mais qui le retient ensuite à Barcelone. Pour rentrer en France, il devra passer par Gènes.

Faire des observations géodésiques qui sont voyantes du fait de l’installation de tours et d’observatoires, ne peut que susciter l’inquiétude de la population en cette période troublée et les aventures de Delambre et Méchain ont suscité un roman [5] mais aussi une étude très précise d’un historien américain qui a refait (à vélo) toutes les étapes et a fouillé les archives [6].

Par rapport aux mesures précédentes, Delambre et Méchain disposent d’un instrument qui prend la suite du quart de cercle utilisé par Picard (il conserve l’idée de deux lunettes) mais qui est beaucoup plus précis car il permet de cumuler des observations successives [7].

Source : Cassini, Exposé…, Gallica

La taille du diamètre est selon les modèles de 40 à 50 cm : la lunette inférieure est fixée au cercle sur lequel sont gravées des graduations qui sont lues à l’aplomb de la lunette supérieure dotée de micromètres (M) pour améliorer la précision de la lecture.

Source : Cassini, Exposé…, Gallica

Sans entrer trop dans le détail du procédé, en figure 1 on vise les deux objets chacun avec une lunette. On a une première mesure de l’angle qui va être ensuite améliorée en tournant l’ensemble de l’appareil comme en figure 2 où la lunette inférieure est maintenant tournée vers l’objet de droite.

On désolidarise la lunette supérieure (qui se déplace ainsi sur les graduations) pour la ramener à viser l’objet de gauche (figure 3). On rend solidaire cette lunette de l’ensemble et (figure 4) on la ramène à viser l’objet de droite. On répète cette opération plusieurs fois et l’angle mesuré devient un multiple de l’angle entre les deux objets.

En multipliant les opérations mais en ne faisant qu’une seule lecture à la fin, on augmente la précision à chaque fois. C’est pourquoi l’engin est appelé Cercle répétiteur.

Voici la triangulation : elle montre bien comment on a pu relier le méridien de Paris à Dunkerque à la hauteur de ce méridien à Barcelone.

Source : Ken Alder 2005

Mesures complémentaires : latitude et bases

Il restait à mesurer la latitude aux deux extrémités. La technique est de viser une étoile qui tourne autour de la polaire et de noter sa hauteur quand elle passe au méridien au-dessus de la polaire, puis quand elle passe en-dessous. La différence des deux mesures donne la latitude. Les mesures se font encore avec le cercle répétiteur mis en position verticale.

A des fins de vérification, deux bases ont été mesurées, une au sud à Perpignan, l’autre au nord entre Lieusaint et Melun, route royale qui allait devenir la N6.

A Lieusaint subsiste encore un pyramidion marquant l’extrémité nord de la base :

La longueur de la base est d’environ 12 km qui ont été mesurés en mettant bout-à-bout des règles doubles (de platine et de cuivre) dont les longueurs différentes en fonction de la température permettaient d’obtenir une mesure de référence. L’opération pris 45 jours.

Tout ceci permis de définir le mètre avec une précision inégalée : la dix millionième partie du quart du méridien terrestre est égale à 443,296 lignes. Comme 12 lignes valent un pouce et 12 pouces un pieds, la nouvelle unité vaut 3 pieds et 11,296 lignes. Il va sans dire que les mesures actuelles de la terre diffèrent quelque peu, de 2 pour 10 000 ce qui n’est pas beaucoup, mais l’unité ayant été fixée par une convention internationale en 1799, il n’a pas bougé depuis même si les étalons ne sont plus les mêmes. La méthode d’Ératosthène était la bonne.

Annexe : comment utiliser la triangulation et la base

Prenons par exemple le triangle qui contient la base entre Lieusaint et Melun et qui forme un triangle avec Malvoisine :

Source : Ken Alder 2005 et IGN. Cliquer sur la carte pour l’agrandir

On connait la longueur de la base (en rouge) 11,55 km, l’angle alpha de la visée à partir de Lieusaint vers Malvoisine et Melun égal à 75,19° ainsi que l’angle bêta qui de Melun vise Malvoisine et Lieusaint égal à 64,47°. On cherche, à partir de la base et de ses deux angles adjacents la longueur des deux autres côtés.

Le calcul trigonométrique [8] nous dit que :
Distance Malv.- Lieusaint = base x sinus (bêta) / sinus (alpha + bêta)
Dist. Malv.- Lieusaint = 11,55  x sinus (64,47) / sinus (64,47 + 75,19)

On a : sinus (64,47) = 0,9023 ;  sinus (64,47 + 75,19) = sinus (139,66) = 0,6473
Finalement la distance Malv.- Lieusaint =11,55 x 0,9023 / 0,6473 = 16,10 km.

De même la distance Malvoisine-Melun  = base x sinus (alpha) / sinus (alpha + béta) où la seule différence avec le calcul précédent est que la base est multiplié par le sinus d’alpha et non par celui de bêta.

Sinus (alpha) = sinus (75,19) = 0,9668.
Cette nouvelle distance = 11,55 x 0,9668 / 0,6473 = 17,25 km.

De proche en proche on peut calculer les distances entre tous les points de la triangulation et en déduire la longueur du méridien.

  1. N. D. Haasbroek, Gemma Frisius, Tycho Brahe and Snellius and their triangulations, W. D. Meinema N. V., Delft, 1968, pdf en ligne []
  2. on trouvera en annexe un exemple de calcul concernant la région parisienne []
  3. Monsieur Picard, Mesure de la terre,  Paris : Impr. royale, 1671, en ligne sur Gallica []
  4. une ferme existe toujours au lieu-dit de Malvoisine (de coordonnées 48.513754 N et 2.419060 E) mais les bâtiments sont tous récents et le seul souvenir de la triangulation est un mat topographique en béton de quelques mètres à côté d’un repère géodésique []
  5. Denis Guedj, La mesure du monde. La méridienne, Robert Laffont, 1987 []
  6. Ken Alder, Mesurer le monde. L’incroyable histoire de l’invention du mètre, Flammarion, 2005. J’utilise aussi une publication des ingénieurs des Ponts et chaussées qui retrace une histoire plus globale : J. J. Levallois (dir.), Mesurer la terre. 300 ans de géodésie française. De la toise du Châtelet au satellite, Presses de l’école nationale des Ponts et Chaussées, 1988 []
  7. Cassini, Méchain et Legendre, Exposé des opérations faites en France en en 1787, pour la jonction des observatoires de Paris et de Grennwich, en ligne sur Gallica []
  8. voir par exemple l’article Résolution d’un triangle de Wikipedia, paragraphe «Deux angles et le côté commun »  []

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