Un quatrième tome des « arpenteurs romains » vient de sortir aux Belles Lettres, mis au point par Jean-Yves Guillaumin. Il présente deux auteurs : Agennius Urbicus qui étudie des controverses sur les terres et Marcus Junius Nypsius qui traite de huit problèmes de construction géométrique sur le terrain [1]. Nous examinerons en détail le premier problème proposé par M. Junius Nypsius qui consiste pour un arpenteur à mesurer la largeur d’un cours d’eau suffisamment large pour ne pas pouvoir être mesuré directement par l’instrument habituel de mesures linéaires, la pertica (perche) de 10 pieds soit environ 3 m [2].

Le titre du passage est Fluminis varatio : il s’agit d’une opération sur un cours d’eau mais le terme varatio ne se trouve que dans le présent texte. Laissons le terme non traduit pour le moment en faisant l’hypothèse que le sens apparaitra dans ce qui est décrit.

Les opérations d’arpentage se font en quadrillant un territoire, c’est-à-dire en mesurant des longueurs, puis d’autres à angle droit des précédentes. D’une manière concrète, l’arpenteur utilise un instrument de visée appelé groma dont voici une représentation de son usage [3].

Sur un socle en fer (appelé ferramentum) fiché dans le sol, est fixée une croix en bois, des extrémités desquelles pendent des fils à plomb.  Un autre fil fixé au centre de la croix permet de repérer que la groma est bien positionné sur une borne qui sert de référence. Ici le personnage de gauche est en train de guider le plantage de jalons dans une direction donnée. Dans le langage des arpenteurs, on dit qu’il dicte les jalons (l’autre personnage vérifie l’orthogonalité avec un alignement perpendiculaire).

(1) Si in agri quadratura tibi dictanti
Si, pendant le quadrillage d’un territoire, alors qu’on dicte des jalons,
occurrerit flumen quod necesse sit varari,
on se trouve devant un cours d’eau qu’il est nécessaire de « varer »
sic facies.
on procédera ainsi.

(2) Rigor qui impegit in fluvium
(Soit) une ligne droite qui arrive au cours d’eau

Construisons par étapes le graphique des différentes opérations. À l’étape 1 on suppose que l’opérateur a planté de l’autre côté de la rivière un jalon en E (c’est implicite au vu de la suite du texte).

exinde versuram facies
ensuite on fera un retour
et in qua parte verteris tetrantem pones
et à l’endroit où l’on aura tourné, on placera un tétrant.

Tétrant, du grec τετράς, est un jalon spécial qui indique un angle droit c’est-à-dire un espace divisé en quatre parties.

Nous sommes à l’étape 2 : le tétrant est en A :

(3) Deinde transferes ferramentum in eo rigore quem dictaveris
Ensuite on déplace le ferramentum sur l’alignement que l’on a dicté
ex eo rigore qui in flumen impegerat
en partant de l’alignement qui venait s’enfoncer dans le cours d’eau

Le socle métallique de la groma (le ferramentum) est positionné en A sur le jalon-tétrant qui y a été placé.

(4) Deinde transferes ferramentum et
Ensuite on déplace le ferramentum et,
comprehenso eo rigore quem dictasti,
en partant de cet alignement que l’on a dicté,
versuram facies in partem dextram
on fera un retour à droite.

C’est l’étape 3 :

L’opérateur de A fait mettre un jalon en B puis y déplace la groma, vise le point A puis prend la perpendiculaire dans la direction opposée à la rivière vers C.

(5) Deinde exiges medium illum rigorem a tetrante ad tetrantem
Ensuite on mesurera le milieu de cette droite d’un tétrant à l’autre
Et divides illum in duas partes
et on la divisera en deux parties (sous-entendu égales)
et signum pones perpensum
et l’on placera un jalon à cet endroit précis.

(6) Deinde figes ferramentum ad signum
Ensuite on placera le ferramentum au jalon
quod dividet duas partes quas divisisti
qui sépare les deux parties que l’on a divisées.

(7) Ex fixo ferramento et perpenso comprehenso rigore
A partir du ferramentum fixé à cet endroit précis sur la droite
ab umbilico soli emissum perpendiculum cum super signum ceciderit
quand, depuis le centre le la croix, le fil à plomb tombe sur le jalon

L’umbilicus soli est le point central de la groma d’où tombe un fil à plomb sur le jalon de repère (cf. figure 1)

percuties gromam donec comprehendes signum quod posueras trans flumen
on manœuvrera la groma jusqu’à ce que l’on vise le jalon que l’on avait posé de l’autre côté du cours d’eau.

Étape 4 :

(8) Cum diligenter comprehenderis
Quand on aura fait la visée avec précision
transies ex alia parte ferramenti
on passera de l’autre côté du ferramentum
et manente groma dictabis rigorem
et ayant bloqué la groma on dictera un alignement

C’est l’étape 5  [4] :

(9) Ubi se consecuerit norma tua cum eo rigore quem dictaveris
Là où la ligne perpendiculaire aura recoupé l’alignement que l’on aura dicté
signum pones, et exiges numerum a signo ad tetrantem
on placera un jalon et l’on mesurera la valeur numérique depuis le jalon jusqu’au tétrant

c’est-à-dire la longueur depuis le tétrant B jusqu’au jalon F sur la figure

(10) Sed quia linea quam secueras media duo trigona ostendit
Mais comme la ligne que l’on avait coupée en son milieu fait apparaitre deux triangles
et quia cathetus catheto par est, erit et basis basi par
et puisque la cathète est égale à la cathète, la base sera égale à la base.

Pour un triangle cathetus est la latinisation du grec κάθετος qui signifie « perpendiculaire ». Dans un triangle rectangle, le côté de l’angle droit le plus long est la base (ici AE ou BF) sur lequel on projette à angle droit la cathète, ici AD et DB. Donc la longueur AE que l’on cherche à connaitre est égale à la longueur BF qui peut être mesurée.

(11) Quantus ergo numerus basis iuncti trigoni quem exegisti fuerit,
Donc, aussi grande aura été la valeur de la base du triangle comparé, que l’on a mesurée,
tantus rigoris alterius trigoni, cuius rigor est factus in fluvium, numerus erit.
aussi grande sera la valeur de l’alignement du second triangle, dont l’alignement a été tracé en direction du cours d’eau.

(12) De hac base quem exegisti, tolles hunc numerum
De cette base que l’on a mesurée, on retranchera la valeur numérique
quem a tetrante ad fluvium exegisti.
que l’on a mesurée, du tétrant au cours d’eau.

(13) Reliquum quod superfuerit erit latitudo fluminis.
Ce qui reste sera la largeur de la rivière.

Voici une vue d’ensemble du processus : dessin de G. Moscara issu du catalogue d’une exposition qui a eu lieu à Modène en 1984 consacrée à la centuriation dans les colonies du monde romain (les lettres du graphique ne sont pas les mêmes que précédemment) [5].

L’opération est terminée mais quel nom lui donner ? Nous sommes ramenés au problème du titre : Fluminis varatio. Pour vara, probablement à l’origine de varatio, un sens proposé par Gaffiot est le chevalet du scieur de bois. Il y a là un entrecroisement de pièces de bois qui n’est pas sans rapport avec le croisement des lignes AB et EF du schéma précédent. Jean-Yves Guillaumin, dans son édition citée plus haut, traduit Fluminis varatio par « La construction en oblique appliquée à un cours d’eau ». A cette paraphrase on pourra proposer ici « triangulation » terme qui est cohérent avec la vaste étude menée sur l’ensemble du corpus de Marcus Junius Nypsius par Anne Roth Congés qui y reconnait « des pratiques de terrain reposant sur les propriétés des triangles rectangles opposés, donc semblables » [6].

***

Manuel d’arpenteur conservé pour son utilité dans la profession, le traité de Nypsius, nous montre aujourd’hui à travers son vocabulaire technique ce qu’était la rigueur de la pratique professionnelle dont les mathématiques de Thalès et d’Euclide sont sous-jacentes afin d’en assurer la validité.

1. Les arpenteurs romains Tome IV. Agennius Urbicus, Marcus Junius Nypsius, texte établi et traduit par Jean-Yves Guillaumin, Les Belles Lettres, 2021 [↩]
2. on trouvera des indications sur l’arpentage dans un précédent billet consacré à la centuriation [↩]
3. Dessin de G Moscara, Misurare la terra  : centuriazione e coloni nel mondo romano, Modena, Panini, 1984, p. 130 [↩]
4. original du dessin proposé par Anne Roth Congès. Modalités pratiques d’implantation des cadastres romains : quelques aspects, Mélanges de l’École française de Rome. Antiquité, tome 108, n°1. 1996.  p. 364, en ligne [↩]
5. Misurare la terra  : centuriazione e coloni nel mondo romano, Modena, Panini, 1984, p. 133 [↩]
6. Roth Congès Anne. Modalités pratiques d’implantation des cadastres romains : quelques aspects, Mélanges de l’École française de Rome. Antiquité, tome 108, n°1. 1996.  p. 417, en ligne [↩]

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