Luca Pacioli (1445-1509), humaniste mathématicien de la Renaissance, nous rend visite à Paris jusqu’au 8 janvier prochain. Son portrait fait partie de la soixantaine d’œuvres que le musée de Capodimonte de Naples a prêté au Louvre pour l’exposition Naples à Paris [1].

En nous appuyant sur la littérature existante [2] essayons de comprendre ce qui est représenté sur le tableau et plus profondément ce qui est en train de se dérouler sous nos yeux.

Sur un fond noir, au centre, Luca Pacioli en habit de moine franciscain pose l’index de la main gauche sur un texte (à identifier) et de la main droite dessine une figure géométrique sur une ardoise. A côté de lui un jeune noble, les yeux tournés vers le spectateur, forme comme un portrait à part : on notera par exemple que les ombres, très nombreuses sur la robe du franciscain, n’atteignent pas son gant bleu. Selon toute vraisemblance, il s’agit de Guidobaldo de Montefeltro, duc d’Urbino qui accorde son patronage à Pacioli comme va le confirmer l’objet rouge et or situé en bas à droite du tableau.

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Sous un polyèdre en bois se trouve un livre dont l’auteur est indiqué : on peut lire les lettres « LI R. LVC. BUR. » que l’on peut interpréter comme « Liber Reverendi Lucae Burgensis » c’est-à-dire Luca Pacioli de Borgo San Sepulcro. Or on connait un livre de Pacioli paru avant la date de réalisation du tableau connu grâce au papier plié situé à gauche du livre :

où on lit « IACO.BAR.VIGEN/NIS. P. 1495 » (suivi du dessin d’une mouche) interprêté comme : «  Jacopo de’ Barbari Vigennis Pinxit 1495 » même si cette attribution est problématique [3].

En 1495-, Pacioli a déjà publié l’année précédente sa Summa de arithmetica, geometria, de proportioni et de proportionalita en abrégé Summa où l’on découvre un portrait de Pacioli dans le même esprit que le précédent (avec un compas dans la main gauche et désignant de la main droite un texte avec des figures) avec la dédicace au même duc d’Urbino (en latin en rouge, puis en italien, comme le reste de la Summa) [4].

Pacioli aurait enseigné les mathématiques au jeune Guidobaldo et le tableau peut être interprété comme un cours fait à son élève.

Pour savoir ce qui est enseigné, il faut examiner de près le texte sous la main gauche du frère franciscain mais un indice nous guide : il s’agit de la mention située sur le bord de l’ardoise :

Il s’agit d’Euclide dont les Éléments sont à la base de l’enseignement des mathématiques.

Le livre sous la main gauche montre qu’il s’agit de la première édition imprimée du texte d’Euclide par Erhard Ratdolt à Venise en 1482. On peut difficilement lire qu’il s’agit du livre XIII mais la confrontation avec les éditions dont on dispose nous permettent de dire qu’il s’agit de la proposition 8 dont voici la reproduction pour le haut des pages avec des graphiques qui sont visibles sur le tableau [5]

Le texte de la proposition est le suivant :

Omnis trianguli equilateri quod a latere suo quadratum de/scribitur
Pour tout triangle équilatéral, son côté, mis au carré, représente
triplum est quadrato dimidii diametri ciruli
le triple du carré du demi-diamètre du cercle
a quo triangulus ipse circumscribitur
dans lequel le triangle est inscrit.

On tentera en annexe de montrer comment s’opère la démonstration mais le geste de Pacioli est d’ébaucher une droite qui part du sommet du triangle :

On remarquera que si on compare avec le graphique analogue qui se trouve dans l’édition des Eléments d’Euclide (dans l’édition qui se trouve à main gauche),

on voit qu’il aurait dû continuer en traçant une ligne à partir de b vers c. Comme cela aurait été complètement invisible sur le bas de l’ardoise, il trace une ligne partant de a, le haut du dessin, beaucoup mieux identifiable. Le tableau évoque Pacioli faisant une démonstration, il ne prétend pas donner la démonstration.

La raison qui pousse Pacioli à faire ce genre de démonstration est qu’elle joue un rôle dans l’inscription des surfaces dites «régulières», ici un triangle équilatéral, dans un cercle. Ce théorème va servir pour construite des polyèdres dans une sphère, question que travaille Pacioli et dont nous avons déjà deux exemples dans le tableau. Posé sur le livre de Pacioli, on a déjà pu repérer un polyèdre en bois : il s’agit d’un volume à douze faces (dodecaèdre),

mais il y en a un autre, beaucoup plus complexe en haut à gauche du tableau :

Il s’agit cette fois d’un polyèdre à 26 faces composé de 18 carrés et 8 triangles (appelé « rhombicuboctaèdre »), figure mise au point par Archimède et qui est présentée ici sous forme d’une cristal transparent, soutenu par un fil et à moitié rempli d’eau. Sur trois faces on voit des reflets comme on peut tenter de le voir sur l’agrandissement ci-dessous.

Ces reflets seraient ceux du palais ducal d’Urbino, fief du duc présent à côté de Pacioli.  Ce même polyèdre a été dessiné de la manière suivante par Léonard de Vinci lui-même dans le livre de Pacioli La Divine proportion [6] .

Pacioli pensait que la proportion est ce qui fonde l’étude du monde et que le Créateur lui-même l’avait façonné en utilisant ce critère [7] et on a vu dans le présent carnet de recherche le rapport entre Pacioli et Léonard de Vinci à propos de l’Homme de Vitruve.

Ajoutons pour terminer que Pacioli est célèbre comme vulgarisateur : il écrit non pas en latin mais en italien et donne la raison mathématiques des usages comme pour la comptabilité en partie double ce qui fait que cet auteur est très apprécié des économistes[8], mais aussi plus simplement pour la règle de trois, utilisée depuis longtemps dans la pratique mais théorisée par lui.

***

Avant de vous lancer dans la démonstration de la proposition d’Euclide, je vous rappelle que Luca Pacioli est l’hôte du Louvre jusqu’au 8 janvier : ne manquez pas d’aller lui rendre visite.

Annexe : démonstration

Dans l’édition actuelle des Eléments d’Euclide en grec [9], le numéro de la proposition est 12 car il y a eu dans les éditions anciennes des permutations entre les propositions 8 et 12.

ἐάν εἰς κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ,
si dans un cercle un triangle équilatéral est inscrit
ἡ τοῦ τριγώνου πλευρά δυνάμει τριπλασίων ἐστί
le côté du triangle est, en puissance, triple
τῆς ἐκ τοῦ κέντρον τοῦ κύκλον
du rayon du cercle

Soit un triangle équilatéral ABC inscrit dans un cercle. D est le centre du cercle. On trace le diamètre du cercle ADE et l’on joint B et E.

Chaque côté du triangle divise le cercle en trois parties égales.  L’arc BE, moitié de l’arc BC est le côté d’un hexagone inscrit si l’on dédoublait les autres côtés du cercle. L’angle BDE fait 60 degrés puisqu’il y a 6 côtés en tout. Si l’on rajoute le côté BD de ce triangle on a :

On voit que BDE est également un triangle équilatéral et que BE est égal au rayon du cercle.

La démonstration d’Euclide est plus expéditive : « la droite BE est donc un [côté] de l’hexagone ; elle est donc égale au rayon DE » [10]

Considérons maintenant le triangle ABE, inscrit dans un demi-cercle et qui forme donc un triangle rectangle. Selon le théorème de Pythagore (étudié au livre I des Éléments), le carré de l’hypoténuse AE est égal à la somme des carrés de AB et de BE.

Si on appelle r le rayon, AE² peut s’écrire 4r²
AB² est le côté en puissance et BE² = r²
4r² = AB² + r²
AB² = 3r²

On voit là que le terme « en puissance » s’applique au côté du triangle mais aussi au rayon. Donc le côté du triangle est, si l’on considère les carrés (« en puissance »), le triple du rayon.

ὅπερ ἔδει δεῖξαι ;
CQFD.

1. où toutes les photographies ont été prises  par l’auteur [↩]
2. Renzo Baldasso, Portrait of Luca Pacioli and Disciple : A New Mathematical Look, The Art bulletin, New York, 92, 2010, p. 83-102  ; Argante Ciocci, Luca Pacioli e la matematizzazione del sapere nel Rinascimento, Bari, Cacucci, 2003 [↩]
3. Cf le débat dans Baldasso [↩]
4. Source p. 20 du pdf [↩]
5. Source : Gallica [↩]
6. Image issue de Wikipedia [↩]
7. Ciocci, p. 13 [↩]
8. Robert Haulotte et Ernest Stevelinck, Luca Pacioli  : sa vie, son œuvre… / première traduction en français du premier traité de comptabilité, Vesoul, éditions Pragnos, 1975 [↩]
9. Euclidis elementa. Vol. IV, Libri XI-XIII cum appendicibus / post I. L. Heiberg, ed. E. S. Stamatis, Leipzig : B.G. Teubner, 1973 [↩]
10. Les éléments. Volume III, Livre X, Grandeurs commensurables et incommensurables, classification des lignes irrationnelles [Texte imprimé] : trad. du texte de Heiberg / Euclide d’Alexandrie ; trad. et commentaires par Bernard Vitrac, PUF, 1998, p. 423 [↩]

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