Cicéron admirait Archimède : nous avions cité (à propos du mécanisme d’Anticythère) un texte où il évoque un globe qui aurait été construit par ce savant. Il explique dans les Tusculanes (Livre 5, chap. 13) comment lui Cicéron a, à Syracuse patrie d’Archimède, contribué à sortir de l’oubli ce grand homme.

Les Tusculanes sont des conférences qui se seraient déroulées dans une villa de Cicéron à Tusculum. Elles auraient été rédigées en 45 soit peu avant l’assassinat de César : leur but était de faire une présentation simple, compréhensible par beaucoup, de la philosophie morale qui était la sienne. Il y traite du fait que le sage ne craint ni la mort, ni la souffrance, ni le chagrin, ni les passions, ni la souffrance. Pour éviter qu’un tel programme ne soit par trop rébarbatif, Cicéron introduit dans son texte des digressions telles que celle-ci concernant Archimède.

Il vient de raconter l’histoire de Denys, tyran de Syracuse, malheureux dans l’abondance car craignant pour sa vie (c’est ici que se place l’histoire fameuse de l’épée de Damoclès). La mention de Syracuse permet à Cicéron de placer un souvenir personnel concernant cette ville :

ex eadem urbe
de cette même ville
_____humilem homunculum a pulvere et radio
_____ un humble petit homme écrivant sur le sable avec sa règle
excitabo,
je ferai surgir
_____qui multis annis post fuit, Archimedem.
_____qui vécut de nombreuses années plus tard, Archimède.

Pulvis et radius sont les instruments du géomètre, traduits traditionnellement par « poussière et baguette » mais on ne peut pas tracer de figures géométriques sur de la poussière alors qu’on peut le faire sur du sable humide en se servant d’un objet pour tracer, une baguette ou une règle.

Cuius ego quaestor
dont, alors que j’étais questeur
_____ignoratum ab Syracusanis,
_____ignoré des Syracusains
_____cum esse omnino negarent,
_____alors qu’ils niaient complètement son existence
_____saeptum undique et vestitum vepribus et dumetis
_____[c’était une] enceinte entièrement couverte d’épines et de ronces
indagavi sepulcrum.
j’ai cherché le tombeau

Tenebam enim quosdam senariolos,
Je connaissais en effet quelques fragments de vers
quos in eius monumento esse inscriptos acceperam,
dont j’avais su que sur son monument il y avait des inscriptions
qui declarabant in summo sepulcro
qui faisaient voir en haut du tombeau
sphaeram esse positam cum cylindro.
une sphère associée à un cylindre.

En effet Archimède, dans la lettre introductive à son traité « de la sphère et du cylindre », indique que parmi les résultats qu’il a obtenus, un de ceux qu’il juge important est celui concernant les rapports numériques entre la sphère et le cylindre

Ego autem cum omnia conlustrarem oculis
Quant à moi donc, alors que je fouillais tout des yeux,
-est enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum-,
(il y a en effet près de la porte d’Agrigente un grand nombre de tombeaux)
animum aduerti columellam non multum e dumis eminentem,
j’aperçois une colonne pas très grande s’élevant au-dessus des ronces
in qua inerat sphaerae figura et cylindri.
et sur laquelle était le figure d’une sphère et d’un cylindre

Atque ego statim
Alors moi immédiatement
_____Syracusanis – erant autem principes mecum –
_____aux Syracusains – en effet les autorités étaient avec moi –
dixi
je dis
_____ me illud ipsum arbitrari esse, quod quaererem.
_____qu’il me semblait bien que c’était ce que je cherchais.

lnmissi cum falcibus.
Des [gens] nombreux envoyés  avec des faux,
multi purgarunt et aperuerunt locum
dégagèrent et rendirent accessible l’endroit.

Quo cum patefactus esset aditus,
quand l’accès fut libre
ad adversam basim accessimus.
nous accédons au soubassement opposé.

Apparebat epigramma
L’inscription apparut
_____exesis posterioribus partibus
_____[étant] rongés dans leur extrémité
versiculorum  dimidiatum fere
presque la moitié des vers

Ita nobilissima Graeciae civitas,
Ainsi la plus noble cité de la Grèce,
quondam vero etiam doctissima,
un jour même la plus savante,
sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset,
aurait ignoré le monument  du plus ingénieux de ses citoyens
nisi ab homine Arpinate didicisset.
si elle n’avait pas été instruite par un natif d’Arpinum.

Sed redeat, unde aberrauit oratio:
Mais revenons au point où notre exposé a dévié…

Archimède estime donc important le résultat qu’il a obtenu concernant la sphère et le cylindre : de quoi s’agit-il ? La réponse se trouve dans le traité De la sphère et du cylindre [1] où, dans son introduction il donne plusieurs résultats qu’il estime importants, dont celui-ci (transcription : lettres de l’alphabet latin + êta = ê, thêta = th, phi = ph, khi = kh, psi = ps, oméga = ô, h pour l’esprit rude) :

hoti pasês sphairas
que [pour] toute sphère
ho kulindros
le cylindre
ho
lui,
_____basin
_____la base
men ekhôn
ayant en effet
_____isên tô megistô kuklô
_____égale au grand cercle
_____tôn en tê sphaira
_____de ceux qui sont dans la sphère,

(un grand cercle correspond à la circonférence)

hupsos de ison tê diametrô tês sphairas
et de hauteur égale au diamètre de la sphère
autos te hêmiolios estin tês sphairas,
est lui-même une fois et demi la sphère
kai hê epiphaneia autou tês epiphaneias tês sphairas
et [de même] pour sa surface et la surface de la sphère

On notera que l’épiphanie d’un volume est ce qui est visible, c’est-à-dire sa surface.

Ce résultat qui semble important à Archimède nous parait banal, en effet :
– volume d’une sphère = 4/3 π R³
– volume d’un cylindre = base x hauteur :
__la hauteur c’est ici le diamètre de la sphère, soit 2 R, le volume est égal à π R² x 2 R, soit 2 π R³

Volume cylindre / volume sphère = 2 π R³ / 4/3 π R³ = 6/4 ou 3/2  soit une fois et demi.

De même la surface de la sphère = 4 π R² :
Surface du cylindre : base inférieure = π R² ; côté 2 π R x 2 x R = 4 π R² ; sommet π R² soit au total 6 π R². Le rapport est le même 3/2 soit une fois et demi.

Pourquoi ce qui nous semble simple à démontrer était aux yeux d’Archimède le résultat dont il était le plus fier ? On peut légitimement parler de progrès des mathématiques car ce qui avait été long et difficile à obtenir tient pour nous dans le creux de la main.

Georges Guilbaud [2] souligne aussi qu’il faut distinguer les textes techniques et les textes mathématiques. Dans toute civilisation, ceux qui travaillent sur des objets ronds, des colonnes, des vasques, des roues, sont confrontés au problème de savoir, pour un diamètre donné, quelle est la longueur du périmètre et ils résolvent le problème en utilisant une valeur approchée. Il est probable que « le triple plus un septième » devait être connu avant Archimède. Où il se signale en tant que mathématicien, c’est en démontrant que le rapport peut être encadré par deux valeurs par excès et par défaut et que, si l’on poursuit le processus, on peut arriver à la précision que l’on veut.

Encadrement de π par Archimède (La mesure du cercle):

pantos kuklou hê perimetros
la [ligne] périmètre de tout cercle

(la ligne=grammê f. est sous-entendue)

tês diametrou triplasiôn esti
est le triple du diamètre
kai eti huperekhei
et de plus l’emporte
elassoni men ê hebdomô merei tês diametrou
par soit, d’une part, moins  de sept parties du diamètre
meizoni de ê deka hebdomêkostomonois
par soit, d’autre part, plus de dix soixante et onzièmes

Traduction de G. Guilbaud  (mathématicien qui dit vouloir traduire en pastichant une écriture archaïque) :

Pour tout cercle
le périmètre dépasse
le triple du diamètre
de moins d’un septième
mais de plus de
dix septante-et-unième [3]

En notations modernes on peut dire  que le rapport de la circonférence au diamètre est compris
entre 3 + 1/7 (ou 22/7) par excès et 3 + 10/71 (ou 223/71) par défaut ;
ou encore 22/7 = 3,1429 > π > 223/71 = 3,1408

 

Archimède obtient ce résultat en encadrant le cercle par des polygones inscrits ou circonscrits au cercle et en augmentant le nombre des polygones. Le graphique ci-joint [4] en propose une méthode pour faire comprendre le processus :

L’unité d’aire est le quart de cm² ; le quart de cercle est divisé en 6 régions, de A à F. L’aire de A + B + D = 240, l’aire de F = aire de C . On peut encadres l’aire de F par les valeurs 24 et 39, l’aire de F par les valeurs 6 et 13 et l’aire totale par les valeurs 294 et 331. On en déduit 2,94 < π < 3,31, ce qui est assez grossier mais qui est destiné à faire comprendre la méthode. L’emploi de la même méthode avec des carreaux de 1 mm² donne : 3,1072 < π < 3,1612

– Pourquoi l’usage de la lettre grecque π ?

L’usage d’utiliser la notation de la lettre π date du début du 18^e siècle : à la fin du 17^e Isaac Barrow utilise des abréviations tirées du grec : δ signifie diametros, π signifie perimetros. Au début du 18^e siècle William Jones utilise π pour désigner 3,14159 etc. Cette notation est reprise dans ce même siècle par Euler qui va assurer son succès [5].

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On s’étonnera peut-être que le texte grec ait été transcrit en caractère latin : la raison en est que le but de l’enseignement des langues anciennes doit être d’aider à la compréhension de l’époque présente où, tributaires des latins pour la transmission du grec, nous utilisons leurs caractères qui sont devenus les nôtres (en particulier ph pour phi où la notation est purement arbitraire, contrairement à th pour thêta et kh pour khi). Si à la Renaissance, le grec est redevenu une source directe pour la création lexicale, de nombreux mots grecs introduits en français au Moyen Âge, ont été importés à travers le latin. Parmi ceux-ci citons, pour la simple lettre A : agronome, anarchie, antipode, anthrax, apostasie, apostat, architectonique, aristocratie, asthmatique [6].

De même qu’il faut connaitre le latin du français, de même il faut connaitre les mots grecs du français et la transcription en caractères latins est particulièrement parlante dans le domaine de la géométrie.

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Actualité : je signale le dossier « Refaire les humanité » de la revue Esprit de décembre (voir le sommaire du numéro sur son site) et dans lequel je présente un article « L’avenir des humanités » dont voici le résumé (et le début de l’article ici) :

“La culture classique ne peut plus aujourd’hui être considérée comme un « héritage » à réactiver. Il faut la réapprendre, non comme un patrimoine, mais comme une manière de penser le monde dans sa globalité, sans se laisser enfermer dans des savoirs techniques qui ont tendance à devenir hégémoniques ; cela suppose de repenser les méthodes d’enseignement du français, du latin, etc., pour faire contribuer ces matières à une éducation à la démocratie.”

Je reprends le débat sur le livre de Pierre Judet de La Combe et Heinz Wismann, l’Avenir des langues. Repenser les Humanités, (Cerf, 2004) en examinant non seulement les recommandations finales sur l’enseignement (comme je l’avais déjà fait sur ce carnet), mais le cœur de l’ouvrage, c’est-à-dire comment il faut se positionner par rapport au passé.

Pour citer ce billet : Philippe Cibois, « Cicéron et Archimède », La question du latin, 9 décembre 2012 [En ligne] http://enseignement-latin.hypotheses.org/6391

1. Archimède, texte établi et traduit par Charles Mugler, tome premier, Les Belles Lettres, 1970 [↩]
2. Georges Th. Guilbaud, Leçons d’à peu près, Christian Bourgois, 1985 [↩]
3. Leçons d’à peu près, p.24 [↩]
4. Numéro spécial pi, supplément au Petit Archimède, n°64-65, mai 1980, p.146 [↩]
5. Petit Archimède, n°64-65, p.264 [↩]
6. Ferdinand Brunot, Histoire de la langue française des origines à nos jours, Tome I, nouvelle édition Armand Colin, 1966, p. 576 [↩]

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