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Le latin de Linné (1707-1778)

LinnéBenzécri

 

S’il y a des dates qui fondent notre conscience historique comme 1789, 1870 ou plus récemment 1968, on pense généralement qu’en science il n’en est pas de même et qu’hormis la révérence due aux anciens, le chercheur actuel n’a plus à se soucier des publications des siècles passés. Si la science d’aujourd’hui est bien l’actualisation des résultats antérieurs, pour les botanistes l’année 1753, date de la parution par Charles Linné de Species plantarum, sert de référence pour tout publication d’un nom de plante. Nous allons voir comment (sur deux billets) mais examinons d’abord comment on décrit une plante antérieurement à Linné.

Prenons l’exemple de la Valériane des montagnes, plante assez commune mesurant de 15 à 50 cm et que l’on trouve dans tous les massifs montagneux entre 500 et 2500 m [1].

ValérianeDesMontagnesGaspar Bauhin (1560-1624), naturaliste suisse décrit cette plante dans son Prodromos theatri botanici de 1620 (p. 87) de la façon suivante :

Valeriana_Alpina_Bauhin2

Elle est nommé Valeriana alpina scrophulariae folio, c’est à dire Valériane alpine à feuille de scrophulaire, c’est à dire par la ressemblance à cette dernière plante [2].

Tentons de traduire la description :

radice est nigricante,
en ce qui concerne la racine, elle est de couleur noirâtre
aliquantum torosa nodosaue :
quelque peu charnue et noueuse

caule cubitali et sesquicubitali,
à la tige de une à une coudée et demi
cavo, striato, viridi
creuse, striée, verte
_____(aliquando pluribus) foliis senis, septenis,
_____six ou sept fleurs, quelque fois davantage
longis pediculis donatis insident,
à chaque pédoncule long correspondent

quorum quaedam subrotunda, quaedam oblonga,
dont certaines sont à peu près ovales, d’autres allongées
quaedam leviter sinuata :
d’autres légèrement fléchies

at quae caulem cingunt, pauca sunt,
elles entourent la tige, elles sont peu nombreuses
scrophulariae foliis emula,
elles ressemblent aux feuille de la scrophulaire
unciastres longa, sesquiunciam, vel unciam lata,
elles ont trois pouces de longueur, un pouce et demi à un pouce de large
acuminata, leviter crenata, bina semper iuncta :
elles sont pointues, légèrement crénelées, toujours par deux.

caulis, in summo, in longas tenues alas brachiatur :
la tige à son extrémité, se divise en longs pédicules ténus.

quibus
d’où
_____flores pallide rubentes, Valerianae sylvestri similes
_____des fleurs d’un rouge pâle, semblables aux valérianes des forêts
insident :
sortent

eodem loco ubi et prior provenit :
de ce même endroit elle est venue auparavant

utraque
chacune des deux
_____sub Valeriana montana prima
_____ la première comme Valériane des montagnes
_____ et altera in Phytopinace
_____et l’autre dans [mon] Phytopinax [ouvrage de 1596 également de Gaspar Bauhin]
proposita fuit.
fut citée

Videtur Clusius utramque una descriptione et figura expressisse,
Il semble que Clusius [botaniste flamand 1526-1609] ait présenté les deux dans une seule description et une seule représentation
Valerianae sylvest. alpinae primae latifoliae nomine.
sous le nom de Valeriana sylvestri  alpina prima à feuilles larges.

Comparons avec la présentation de Linné dans Species plantarum (p.32) [3]  :

SpeciesPlantarum32

On retrouve (encadré) le nom donné par Bauhin et sa description avec la référence abrégée à la page 87 vue plus haut. Il y a d’autres références et la fiche se finit par la description géographique (Alpes et Pyrénées). La description est brève mais ce sont les premiers mots qui doivent être regardés attentivement : la Valeriana (en majuscules) est qualifiée dans la colonne de gauche de montana (en italiques) : c’est depuis Linné le nom qu’elle a conservé et elle est citée désormais comme « Valeriana montana L. » Le L majuscule suffisant désormais à citer Linné.

La description commence par les mots floribus triandris, aux fleurs « tri-andris » du néologisme grec τρίανδροϛ latinisé : « à trois maris », ce qui signifie que la Valériane a trois étamines (on reviendra plus loin sur ce vocabulaire marital). On peut le vérifier sur un dessin de Valériane issu d’une flore de référence [4] en comparant avec un détail de la Valériane montrée plus haut :

ValérianeDétailCliquer sur la photo pour l’agrandir

Le reste de la description se trouve dans ces seuls mots  :

foliis ovato-oblongis subdentatis, caule simplici
aux feuilles ovales-oblongues  presques dentelées, à tige simple.

La description est brève car elle ne fait que résumer les descriptions données ensuite en référence : le savoir devient ainsi cumulatif. Suivent donc les différents noms donnés par différents auteurs :

Valeriana foliis omnibus integris ex ovato-acuminatis leviter dentatis. Hall. helv. 664. it. 8
Valériane à feuilles toujours complètes dont l’extrémité ovale est légèrement dentelée. (Haller, Enumeratio methodica stirpium Helveticae indigenarum, 1742)

Valeriana montana, subrotundo folio. Bauh. pin. 165
Valériane des montagnes à feuille quasi-ovales. (Bauhin, Pinax theatri botanici, Bâle, 1623.)

Valeriana alpina, scrophulariae folio. Bauh. pin. 165
Valériane des alpes à feuille scrophulaire. (c’est le cas étudié plus haut par Bauhin))

Valeriana alpina, nardo celticae similis, inodora. Pluk. alm. 380. t. 232. f. 2.
Valériane des alpes ressemblant au nard celtique et inodore [nard = valériane]. (Plukenet, Almagestum botanicum, Londres, 1696)

Nardo celticae similis inodora. Bauh. pin. 165.
Semblable au nard celtique mais inodore. (Bauhin, Pinax theatri botanici)

Comme le remarque Rousseau, quand on vous demandait (avant Linné) le nom d’une plante, rien n’était plus désagréable «  que la nécessité de cracher en réponse une longue enfilade de mots latins qui ressemblaient à des évocations magiques » [5]

Linné classificateur

Avec Linné tout change : de même que pour désigner une personne on utilise son nom de famille que l’on spécifie par son prénom ; pour les organismes vivants, il suffit de donner le nom de son genre (Valeriana) que l’on précise, spécifie au sens strict, par le nom de l’espèce (montana). Mais comment arriver à ce résultat face à la variété des désignations, des descriptions, des points de vue des auteurs ? Il fallait avoir une clé pour ouvrir le système de la nature : ce sera la Clavis Systematis Sexualis. exposée d’abord en 1735 dans le Systema naturae.

SystemaNaturaeCouverture

Linné, né en 1707 en Suède, n’a pas trente ans quand il publie ce texte (qui n’a que 11 pages) [6]. Après des études de médecine dans son pays, il entreprend une mission d’exploration de cinq mois en Laponie pour étudier sa flore. Il complète ses études en Hollande à Leyde où il publie son Systema naturae qui rencontre un vaste succès tout du moins pour sa partie concernant les végétaux.

De nombreux auteurs avaient déjà repéré que le système de reproduction des végétaux avait des analogies avec celui des animaux : on parle de fleurs mâles et de fleurs femelles. La Clavis systematis sexualis va utiliser les organes sexuels des végétaux pour en faire la base d’une classification. Ce qui est surprenant, c’est que Linné va utiliser un vocabulaire anthropomorphique dans son exposition, ce qui entrainera d’ailleurs des critiques.

Voici la page exposant le système sexuel :

SystemaNaturaeClavisSystSexP5Cliquer sur le document pour l’agrandir

On voit qu’il s’agit de traiter un ensemble que l’on subdivise ensuite en parties jusqu’à former 24classes à droite (nous avons déjà rencontré la 3e à laquelle appartient la Valériane des montagnes).

Niveau 0 (le plus à gauche)

NUPTIAE PLANTARUM
Les noces des plantes

Actus generationis incolarum Regni vegetabilis
L’acte d’engendrement des habitants du règne végétal

Florescentia
La floraison

Il y a trois niveaux de vocabulaire : en majuscule le critère générique ; en caractères ordinaires l’analogie humaine ; en italique le vocabulaire des fleurs.

Niveau 1

PUBLICAE
Publiques

Nuptiae, coram totum mundum visibilem aperte celebrantur.
Les noces sont célébrées ouvertement devant tout le monde qui peut les voir

Flores unicuique visibiles sunt
Toutes les fleurs sont visibles

CLANDESTINAE
Clandestines

Nuptiae clam instituuntur
Les noces sont entreprises en cachette

Flores, oculis nostris nudis vix conspiciuntur
Les fleurs sont difficilement visibles à l’œil nu

Niveau 2

MONOCLINIA
Un seul lit

Mariti et uxores uno eodem thalamo gaudent
Mari et femmes jouissent d’un même lit nuptial

Flores omnes hermaphroditi sunt, et stamina cum pistillis in eodem flore
Toutes les fleurs sont hermaphrodites et l’étamine avec le pistil sont dans une même fleur

DICLINIA (a δίς bis & κλίνη lectus, thalamus)
A deux lits (du grec δίς deux & κλίνη lit, lit nuptial )

Mariti seu feminae distinctis thalamis gaudent
Maris et femmes jouissent de lits nuptiaux séparés

Flores masculini vel feminini in eadem specie
Les fleurs sont masculines et féminines dans une même espèce

 Sautons les distinctions ultérieures pour arriver au 24 classes de droite et reprenons celle de la Valériane :

TRIANDRIA
A trois maris

Mariti tres in eodem conjugio
Il y a trois maris dans le même mariage

Stamina tria in flore hermaphrodite
Il y a trois étamines dans la fleur hermaphrodite

Ce vocabulaire conjugal utilisé sans pudeur en a évidemment choqué certains mais n’en a pas gêné d’autres comme Rousseau. Comme l’écrit Takuya Kobayashi[7] :

« Au siècle des Lumières, où les gens estimaient beaucoup la sensibilité, cette idée des plantes amoureuses aurait eu une influence considérable. Rousseau n’en était pas exclu. Il écrit dans la « Cinquième Promenade » ce qui suit : […] Tous les matins après le déjeuner, que nous faisions tous ensemble, j’allais une loupe à la main et mon Systema naturae sous le bras visiter un canton de l’Île […]. Rien n’est plus singulier que les ravissements, les extases que j’éprouvais à chaque observation que je faisais sur la structure et l’organisation végétale, et sur le jeu des parties sexuelles dans la fructification, dont le système était alors tout à fait nouveau pour moi. […]. La fourchure des deux longues étamines de la brunelle, le ressort de celles de l’ortie et de la pariétaire, l’explosion du fruit de la balsamine et de la capsule du buis, mille petits jeux de la fructification que j’observais pour la première fois me comblaient de joie […] (Œuvres complètes I, p. 1043) »

Rousseau n’est pas le seul à herboriser sa loupe à la main et son Systema naturae sous le bras car l’ouvrage de Linné permet, à l’œil nu, sans microscope, d’identifier les plantes et de s’y retrouver tant dans la nature que dans le foisonnement des ouvrages des prédécesseurs. Rapidement toute l’Europe se convertit à son système de nomenclature basé sur les organes reproducteurs. Toute l’Europe sauf Paris : Buffon est très critique car il reproche à Linné l’artificialité de son système sexuel de classification : en particulier de mettre « souvent sous le même genre des plantes absolument différentes : comme le chêne avec la pimprenelle, l’orme avec la carotte, le mûrier avec l’ortie »[8].

A ce système artificiel s’opposera plus tard (et nous le verrons dans un prochain billet), le système naturel qui au lieu de prendre un seul caractère comme base de classification (comme le système sexuel pour Linné) se servira d’un ensemble aussi vaste possible de caractères en maximisant les ressemblances pour faire des regroupements.

Le style de Linné

Le latin de Linné est écrit souvent sous formes d’aphorismes numérotés qui se renvoient l’un à l’autre comme dans une démonstration. En voici un exemple qui correspond à la première page du Systema naturae  qui porte sur les Observations sur les trois règnes de la nature :

SystemaNaturaeRegnaNaturaeP1DebCliquer sur le document pour l’agrandir

Comme on le voit, Linné est créationniste mais concernant son style, Pascal Duris note que avec « son latin, débarrassé des complexités grammaticales du latin classique (…) Linné dote la botanique et la zoologie d’une langue nouvelle, concise, nerveuse où chaque mot compte (…). Le latin de Linné, critiqué par Buffon, salué par Rousseau, et dont Vicq d’Azyr, Condorcet, puis plus tard Cuvier, déploreront l’« extrême laconisme », est le premier exemple d’une langue scientifique rationnelle, systématique et universelle chère aux Encyclopédistes puis à l’époque révolutionnaire » [9]

  1. J.C. Rameau, D. Mansion, G. Dumé, Flore forestière de France, Tome 2 : montagnes, Institut pour le développement forestier, 1993, p. 2151. []
  2. Aline Raynal-Roques & Albert Roguenant, « Nommer et classer les plantes : un parcours de trois siècles », in Daniel Prat, Aline Raynal-Roques, Albert Roguenant, Peut-on classer le vivant ? Linné et la systématique aujourd’hui, Belin, 2008, p.109 []
  3. Les œuvres originales de Linné sont facilement accessible avec Gallica mais aussi avec la base de donnée Botanicus []
  4. J.C. Rameau, D. Mansion, G. Dumé, Flore forestière de France, Tome 2 : montagnes, Institut pour le développement forestier, 1993, p. 2150. []
  5. Jean-Jacques Rousseau, Fragments pour un dictionnaire des termes d’usage en botanique, Introduction, 1777 []
  6. Source de la reproduction []
  7. Éditeur des Écrits sur la botanique de Rousseau, Œuvres complètes, tome 11, Genève Slatkine, 2012. Citation extraite de sa Thèse Univ. Neuchâtel, 2012 en ligne, p.84 []
  8. cité par Giulio Barsanti, « Linné et Buffon : deux visions différentes de la nature et de l’histoire naturelle » in Thierry Hoquet (dir.) Les fondements de la botanique. Linné et la classification des plantes, Vuibert, 2005, p.122 []
  9. Pascal Duris, « Traduire Linné en français à la fin du XVIIIe siècle », Early Science and Medicine 12 (2007) 166-186 , p. 171. De Pascal Duris également, on lira avec profit le numéro spécial consacré à Linné dans la collection « Les génies de la science » de la revue Pour la science 26, février-mai 2006, et qui est facilement accessible []

Projet pédagogique : observer le soleil à la pause méridienne

Le présent billet est d’une nature assez particulière : il est issu de billets de ce carnet consacrés à des textes scientifiques et techniques latins, en particulier de celui sur la réforme du calendrier où, tant pour la réforme initiale du calendrier julien que pour la réforme grégorienne, les textes latins nous donnent les principes des réformes opérées. Cependant, pour bien comprendre comment fonctionne le calendrier, il faut se faire une idée précise de ce qu’est la longueur de l’année et pour cela rien ne vaut l’observation. Dans le texte qui va suivre l’objectif est de proposer des expérimentations à destination d’élèves soit du primaire pour le premier projet, soit du secondaire pour le second. On pourra en trouver ici la version pdf afin que ce texte puisse être communiqué à de nombreux enseignants. En effet, ce projet montre qu’il est possible de faire observer les élèves et de leur faire prendre conscience d’une manière expérimentale que la durée d’une année ne coïncide pas avec un nombre entier de jours. Merci de faire circuler ce texte et d’assurer un retour d’expérience de ce qui serait fait dans la suite ainsi que les éventuels commentaires du présent texte.

Présentation générale

ObservatoireParis
Observatoire et méridienne de Paris

Si la méridienne désigne la sieste au milieu de la journée (mais le terme a vieilli), l’adjectif a repris récemment du service à propos des rythmes scolaires car on parle désormais assez souvent de « pause méridienne ». Le terme désigne aussi en astronomie une monture de télescope (opposée à monture équatoriale) et en histoire des sciences un montage d’observation du soleil que l’on trouve dans divers édifices. On parle aussi de La Méridienne comme étant celle de l’Observatoire de Paris que l’on a cherché à matérialiser de Perpignan à Dunkerque en l’an 2000.

Le but de ce projet est d’initier des élèves à la pratique scientifique de l’observation et à l’histoire des sciences, plus précisément à la mesure de la durée de l’année et aux problèmes des réformes du calendrier (julienne et grégorienne), à la controverse du 17e siècle sur le système solaire et aux observations de l’époque à Florence qui ont permis de faire avancer la science.

Deux projets sont présentés ici, le premier consiste à dessiner le parcours de l’image du soleil au midi local sur le sol d’une classe : ce projet est réalisable par des élèves du primaire. Le second consiste à mettre au point un instrument d’observation précis de la hauteur du soleil quand il est au plus haut, avec cependant des outils très simples. Ici c’est la recherche de la précision scientifique qui est au premier plan avec tout ce qu’elle suppose de rigueur dans l’observation, dans l’étalonnage de l’instrument et dans le calcul des erreurs. Ce deuxième projet n’est accessible qu’au niveau du second degré.

L’expérience commune partagée par tous les élèves est que le soleil se lève, monte le matin dans le ciel, descend le soir et se couche. Les élèves plus âgés savent en outre qu’il se lève du côté de l’Est, qu’il est à midi au plus haut et qu’il se couche à l’Ouest. Que la différence entre heure solaire et heure légale puisse avoir un impact sur la hauteur du soleil est certainement à l’extrême limite des connaissances acquises réellement (même si des apprentissages ont été faits).

Pour le premier degré : la méridienne de classe

HeilbronPour construire une méridienne de classe, on va s’inspirer d’une expérience historique précise faite à Bologne en 1655. Le livre fondamental sur la question est celui de John L. Heilbron, Astronomie et églises, (Belin, 2003), traduction de The Sun in the Church. Cathedrals as Solar Observatories, Harvard University Press, 1999)

En effet, pour pouvoir fixer exactement la date de Pâques, l’Église catholique a utilisé des églises pour mesurer exactement la durée de l’année solaire. La technique est d’installer dans les hauteurs de l’édifice un simple orifice qui laisse passer la lumière du soleil. Son image se projette au sol et on l’observe au moment du passage du soleil au méridien du lieu.

Le premier à avoir utilisé d’une manière efficace une église à cette fin avec une précision scientifique suffisante a été l’astronome Jean-Dominique Cassini (1625-1712) qui créa l’Observatoire de Paris et fut le premier d’une dynastie d’astronomes célèbres. Avant de venir à Paris à l’instigation de Louis XIV, il avait équipé l’église San Petronio de Bologne d’une méridienne qui fonctionne toujours, qui va servir de modèle à l’église Saint Sulpice à Paris et qui peut encore servir de modèle à une méridienne de classe. Étudions-en les différentes composantes.

SanPetronioProgOn distingue en haut un œilleton dans la voute (flèche supérieure) : c’est par là que passent les rayons du soleil qui, comme dans une chambre noire ou un sténopé, se projettent dans l’édifice. On voit à droite l’image du soleil juste avant midi se rapprochant progressivement de la ligne méridienne matérialisée sur le sol (flèche inférieure), d’abord sur un pilier puis sur le sol. C’est là où l’image du soleil apparait quand il est au méridien de Bologne.

Comme on le voit sur ce plan de l’église, la ligne méridienne passe entre les différents piliers de la cathédrale (Heilbron p. 97) :

SanPetronioPlanComme sur le plan l’œilleton est à gauche, au solstice d’été le soleil est au plus haut dans le ciel et l’image se trouve à la gauche de la ligne. Au solstice d’hiver par contre, l’image se trouve le plus à droite de la méridienne. Entre ces deux extrêmes, l’image se trouve chaque jour en un point différent et on peut mesurer avec exactitude sa position.

Dans l’Église Saint-Sulpice à Paris, un dispositif analogue fut installé en 1743. Faute de place, l’image en hiver se projetait sur le mur et une pyramide fut construite pour recevoir l’image (il faut parler au passé car le dispositif n’est plus opérationnel). La pyramide porte une inscription en latin qui explique le but de l’opération.

InscriptionStSulpiceOn voit bien au sol la méridienne en laiton qui traverse tout le transept de l’église.

DSCN2112StSulpicePour construire une méridienne sur le même principe, il faut disposer d’un local où une certaine pénombre peut être obtenue : une classe avec des rideaux peut être une bonne solution. En été, la pénombre n’est pas nécessaire mais elle l’est en hiver quand l’image du soleil, devenue très grande, devient pâle.
Examinons les dimensions requises pour une hauteur de plafond de deux mètres (en région parisienne) :

PlanMéridienneAu solstice d’été, l’image est à un mètre du mur où se trouve l’œilleton, l’été à six mètres.

Comment observer

PlotAragoLe soleil est au plus haut quand il est sur le méridien d’un lieu et on peut donc construire autant de lignes méridiennes que de lieux. On connait le méridien de Greenwich qui sert de base aux fuseaux horaires, on connait peut-être le méridien de Paris, qui correspond précisément à la localisation de l’observatoire fondé par Cassini et matérialisé récemment au sol dans tout Paris par des plots marqués « Arago » (François Arago a été directeur de l’Observatoire de 1843 à 1853).

L’observatoire de Paris se trouve à 02°20’14“ Est du méridien de Greenwich et le soleil y passe au méridien 9 min 21 s ensuite.

____________________________Conversions
_
Les durées sont exprimées en heures, minutes et secondes (abréviations h, min, s)
_
Les circonférences sont exprimées en degrés, minutes (d’arc) et secondes (d’arc) avec les abréviations pour degré °; pour minute ‘ et pour seconde ‘’.
_
En 24 h, la terre tourne de 360° soit 15° par heure (fuseau horaire)
_
1° est franchi en 1/15 h ou 60/15 = 4 min
_
1’ est franchie en 4/60 min ou 4 x 60 / 60 = 4 s
_
1’’ est franchie en 4/60 s ou 1/15 s
_
À une différence de longitude de 02°20’14“ correspond un temps de :
– 2 x 4 = 8 min
– 20 x 4 = 80 s soit 1 min 20 s
– 14 x 1 / 15 = 0,93 s
_
Soit en tout 9 min 20,93 s durée arrondie à 9 min 21 s

Comme pour chaque lieu le soleil passe au méridien selon sa longitude exacte, il faut trouver la longitude du lieu pour savoir à quelle heure observer le passage au méridien (à l’heure solaire du fuseau horaire de Greenwich appelée « Temps Universel »).

Le logiciel mis en ligne par l’Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides est d’un grand secours. En effet, il suffit de donner l’adresse postale du lieu pour avoir sa longitude et des données relatives au soleil.

Prenons par exemple le site de l’École La Source à Meudon, 11 rue Ernest Renan, 92190 MEUDON : le résultat est le suivant pour le 15 avril 2014:

LongitudeLaSourceLa longitude de l’École la Source est de 2° 13’ 37’’ et est donc plus proche du méridien de Greenwich que le méridien de Paris situé à 2° 20’ 14’’ (ce que l’on peut facilement vérifier sur la carte 2314 OT Paris de l’IGN). L’écart en temps est de 8 min 54 s

Quand il est midi au fuseau horaire et donc à l’heure légale (moins une heure à l’heure d’hiver, moins deux heures à l’heure d’été), le soleil est déjà passé 8 min 54 s auparavant à Meudon. En théorie donc, il faudrait observer le soleil à 11h 51 min 6 s à Meudon pour qu’il soit midi vrai. Cet horaire correspond en hiver à environ 12 h 51 (on peut négliger les 6 secondes) et en été à 13 h 51, horaires qui correspondent à la pause méridienne et qui peuvent donc être utilisés pour faire effectuer des observations par des élèves volontaires.

Réalisons une méridienne de classe simplement en installant aussi haut que possible sur la fenêtre un trou d’environ 3 mm (une rondelle en métal peut faire l’affaire) sur une feuille de papier opaque posée sur la vitre la plus au sud de la classe. Le diamètre de l’œilleton n’influe que sur la luminosité et la précision de l’image. Plus il est petit, plus l’image est nette, moins elle est lumineuse et réciproquement. Par approximation on trouvera le diamètre correspondant au lieu choisi : Cassini à Bologne pensait (Heilbron p. 96) que l’œilleton devait avoir comme diamètre la 1000e partie de la hauteur au-dessus du sol. Ici avec une hauteur de 2 m, cela correspondrait à 2 mm, ce qui suppose un local assez obscur et difficilement compatible avec une salle de classe.

Vers midi solaire et par beau temps, une image du soleil se forme au sol. Elle a de 1 à 2 cm de diamètre en été et en hiver elle forme un ovale de 10 cm dans sa plus grande dimension (mais il faut alors de la pénombre dans la salle d’observation).

Quelques minutes avant 11 h 51 (Temps Universel employé désormais), deux élèves se mettent en place, l’un est chargé d’observer l’heure, l’autre de noter la position du soleil. À cette fin, il doit disposer d’une feuille de papier millimétré évidée à partir du centre de 3 mm :

QuadrillageLa couleur du quadrillé est le bleu de façon à faciliter la vision de l’image du soleil qui peut être pâle en hiver. On pose le quadrillé sur l’image du soleil et on la centre en se servant des repères : on marque par une croix au crayon ordinaire ou au crayon feutre le centre de l’image en utilisant le trou central. On doit pouvoir écrire sur le sol : un carrelage qui prend le crayon ordinaire ou le feutre est idéal.

DSCN0574PointCentralVers les équinoxes, le soleil se déplace latéralement d’environ 1,5 cm à la minute. Il suffit donc sur 10 minutes, cinq avant 11 h 51 et cinq après de noter environ toutes les minutes la position du soleil par une croix. Celle de 11 h 51, la seule mesure qui doit être précise, sera notée avec une autre forme (sur l’image ci-dessous les observations des années précédentes ont été reliées par une droite).

DSCN0575Final1Les mesures (idéalement cinq avant 11 h 51, la mesure de 11 h 51 et cinq après) sont alignées, aux erreurs expérimentales près. Il faudra donc ensuite tracer à la règle une droite d’ajustement dont le principe simple est :
1) de ne pas tenir compte des points aberrants s’il y en a
2) de laisser de part et d’autre de la droite autant de points.

DSCN0577AjustementVoici la différence sur deux jours :

DSCN0578DeuxJoursL’expérience montre que dans de bonnes conditions d’observations et avec un peu d’expérience, la droite d’ajustement joint tous les points qui sont bien alignés. Au centre de cette droite on met en relief le point central (11 h 51).

La surprise des observateurs est qu’il est impossible de savoir à l’avance où se situera le point central car il n’y a pas d’alignement d’un jour à l’autre. Le point de chaque jour semble se déplacer dans les deux sens, en se rapprochant du solstice d’hiver au solstice d’été de la paroi sud où se trouve l’œilleton,  (en en s’éloignant le semestre suivant). Mais un deuxième mouvement latéral apparait qui semble aléatoire. Tantôt le point va à gauche du précédent, tantôt à droite de façon différente tout au cours de l’année.

Après une année complète, la figure obtenue en reliant les différents points centraux est la suivante :

Analemme2L’image du soleil au sol se déplace selon cette figure en 8, dans le sens des flèches. On retrouve souvent un tel dessin (baptisé analemme) sur les cadrans solaires :

Cadran solaire de l’Hôpital de Troyes
Cadran solaire de l’Hôpital de Troyes

Si un méridien correspond à une droite, le soleil n’est pas au méridien au midi local (l’équivalent de 11 h 51 dans l’exemple précédent). Il s’en faut d’une différence qui peut aller jusqu’à une quinzaine de minutes dans un sens ou dans l’autre. Par contre quand le soleil passe sur la courbe en huit, il est bien midi local (et on peut mettre sa pendule à l’heure avec une précision de quelques secondes dans le cas de la méridienne de classe). On trouvera l’explication astronomique de cette variation régulière par exemple sur le site wikipedia « équation du temps ».

L’intérêt pédagogique de cette situation est que chaque jour entraine une observation dont l’emplacement est assez imprévisible ce qui motive les observateurs en leur faisant découvrir l’emplacement de l’image du soleil pour la fixer sur le sol. Ils pourront signer à l’extrémité de la droite d’ajustement des mesures de leurs initiales puisqu’ils en ont pris la responsabilité (comme le faisaient les savants qui ont mesuré la méridienne de la France, cf. les livres de Denis Guedj, la mesure du monde, Laffont, 1997 et le mètre du monde, seuil, 2000, ainsi que : Ken Alder, Mesurer le monde, Flammarion, 2002).

Au bout de quelques temps, on peut avoir le résultat suivant où les cercles (mais ce n’est pas la bonne solution) correspondent à l’année précédente. Chaque droite d’ajustement est affichée avec le jour du mois et le dernier chiffre de l’année.

DSCN2290bExtensions possibles

– On peut également tracer la ligne méridienne elle-même, mais comme c’est une droite, l’ajustement se fera entre tous les points de l’année. A l’inverse de la courbe en huit, le passage du soleil au méridien varie chaque jour et son heure est donnée par l’Institut de mécanique céleste (voir son site plus haut). Sur la photo précédente on notera que la ligne méridienne n’est pas centrée sur la courbe en huit ce qui s’explique à la suite d’une erreur sur l’heure choisie comme heure locale avec une erreur de 10 s (soit un décalage d’un cm entre la méridienne et la courbe en huit, ce qui manifeste cependant la précision de l’appareillage).

– Si l’on poursuit l’aventure sur plusieurs années on pourrait penser qu’on ne fera que répéter la même chose et que l’observation perdra de l’intérêt. Il n’en est rien car si la courbe en huit ne bougera pas, son intersection au jour le jour variera d’une année sur l’autre. Ceci vient du fait que l’année solaire fait 365 jours et un quart de jour. D’une année à l’autre et pour le même jour de l’année, on observera un déplacement de quelques centimètres et, au bout de quatre ans, un retour à la première observation.

Comme du fait des jours de congé et des jours où il y a des nuages, il est bien difficile d’avoir en un an beaucoup d’observations, les comparaisons pour un même jour de l’année ne seront que rares au début. La difficulté alors est d’empêcher l’effacement des traces au sol, qu’il faudra éventuellement raviver régulièrement. Cependant cette comparaison est particulièrement intéressante du point de vue de la formation à l’astronomie car elle rend concrète les problèmes du calendrier et des années bissextiles.

– Les latinistes du collège pourront participer à la recherche en traduisant le texte de la pyramide de l’église Saint-Sulpice à Paris mais aussi le texte de Suétone qui décrit la réforme du calendrier par César ainsi que le texte qui explique la réforme grégorienne en 1582. Autant la réforme de César est compréhensible dès que la méridienne aura été menée sur plusieurs années, autant la réforme grégorienne, est plus délicate à comprendre et ne peut l’être qu’au niveau du collège ou du lycée. On trouvera ces textes à l’adresse suivante : « Textes techniques latins (4) La réforme du calendrier ». C’est à des élèves de ce niveau qu’il peut être proposé le programme expérimental du cercle armillaire qui fera l’objet de la deuxième partie.

Image du soleil dans la nature.

L’image du soleil est très commune : à travers une frondaison d’arbre (les marronniers sont très efficaces), le soleil passe par de petits interstices et forme au sol une multitude d’images circulaires (ou ovales selon l’heure). C’est l’effet sténopé (ou chambre noire) que l’on utilise pour la méridienne.

DSCN1544SoleilNatureLes jours d’éclipse partielle de soleil, ces images ont la forme du soleil éclipsé.

Pour le second degré : le cercle armillaire

Toujours dans son livre Astronomie et églises, Heilbron présente aussi l’expérience d’un moine dominicain, Egnatio Danti (entré au service de Cosme de Médicis dans la deuxième moitié du 16e siècle), qui voulait mesurer avec précision la longueur de l’année tropique. À cette fin il fit construire sur la façade de Santa Maria Novella à Florence, une sphère armillaire consistant en deux cercles de métal se croisant à angle droit. Cette sphère y est toujours visible.

DSCN0106CercleDanti0Commentons-en  le graphique de Danti (Heilbron p.68) :

DantiGraphique2Le cercle vertical (ABDE) est dans le plan du méridien, face au sud. Tous les jours au moment du passage du soleil dans le méridien, l’intérieur du cercle n’est pas éclairé par le soleil, caché par l’extérieur du cercle comme on peut le voir ci-dessous en repérant l’ombre du soleil d’abord à gauche, puis invisible, puis à droite :

SantaMariaNovella12hB

Le cercle FG est lui dans le plan de l’équateur céleste : le jour de l’équinoxe, c’est ce cercle dont l’intérieur est obscur. Voici le récit de l’expérience :

La journée de l’équinoxe de 1574 était parfaitement claire et ensoleillée. Danti emmena de «nombreux gentilshommes» à l’église-couvent des dominicains pour voir les jeux de lumière sur les anneaux de  laiton, à quelque sept mètres au-dessus de leurs têtes. Ils virent les rayons du soleil disparaître du fond du cerceau équinoxial et avancer lentement de haut en bas. « Et à ce moment, et un peu avant et un peu après, le [centre du] soleil fut dans l’équateur céleste, les rayons du Soleil apparurent comme un mince filet de lumière sur les bords de la partie concave de l’armille équatoriale, au-dessus et au-dessous, et puis, en un instant, le filet du sud disparut et le filet du nord commença à croitre ». Cela se produisit le 11 mars. (Heilbron p.69)

Cette méthode n’était pas très précise et la construction ultérieure de la méridienne dans San Petronio à Bologne devait conduire à des mesures plus exactes.

Mais est-il possible aujourd’hui de construire des sphères armillaires analogues, dont Heilbron dit (p.66) qu’elles furent celles de Sosigène (le conseiller de César pour la réforme du calendrier) et Ptolémée. Le but ne sera pas de répéter l’expérience de Danti qui est supposée fonctionner uniquement un jour d’équinoxe, mais de monter un cercle armillaire dont l’angle avec l’horizontale puisse varier d’une manière précise, et de se servir de cet instrument pour mesurer la hauteur du soleil lors du passage au méridien. En disposant de mesures à une ou plusieurs années d’intervalle, on pourra déterminer la longueur de l’année avec précision.

Nous avons besoin pour cela d’un cercle métallique parfaitement régulier : une bonne approximation en est une jante de vélo neuve montée perpendiculairement à une planche de 60 sur 60 cm (épaisseur 10 mm), elle-même articulée à une autre planche identique par des charnières. Les deux plans doivent être strictement bord à bord. Une vis permet un réglage fin. Une aiguille est collée sur le bord extérieur pour servir de repère :

CercleRectoVersoL’ensemble est simplement posé sur un trépied muni de deux réglages en hauteur qui permettent de mettre l’ensemble strictement à l’horizontale avec un niveau (l’exactitude de l’horizontale du plan a beaucoup d’influence sur la mesure).

L’ombre de la vis sert pour orienter correctement l’appareil :quand l’heure du passage au méridien est arrivée, il faut mettre l’image de la vis dans l’axe de l’appareil (mais une petite imprécision ne change pas significativement la mesure).DSCN0547NiveauVoici le détail du trépied, de la vis et des charnières :

CercleSocleVisCharnièresLa vis, de 10 mm de diamètre est ici longue de 50 cm : quand le soleil est haut dans le ciel, cette longueur est insuffisante et il faut rehausser la base. Ci-dessous on voit le système de l’écrou encastré dans un bloc de bois articulé.

EcrouPour observer la hauteur du soleil au méridien, on perce des œilletons de 1 et 2 mm (au foret) au milieu de la jante : selon le diamètre l’image est plus précise mais moins lumineuse si l’orifice est petit.

OeilletonsSur le côté diamétralement opposé, on peut faire coïncider les trois images avec la ligne inférieure tracée sur la jante :

Image3trousOn prend comme repère l’image du centre qu’avec la vis on amène sur la ligne de repère comme diamètre. Ceci doit être fait à l’heure du passage au méridien local donnée par l’Institut de mécanique céleste ou en servant du passage au méridien si l’appareil a été convenablement orienté.

MesurePour noter avec des outils simples et cependant une bonne précision, on pose une règle métallique sur le plan inférieur et on repère la mesure avec l’aiguille collée. Sur l’image, la hauteur est comprise entre 34,4 et 34,5 cm. La précision de l’aiguille permet d’apprécier mieux que le demi-millimètre, ici on dira 34,45 cm avec une erreur absolue évaluée à deux dixièmes de mm.

Pour calculer l’angle du soleil, connaissant la taille de la planche, supposée de 60 cm (l’aiguille est collée strictement au bord), on peut en déduire l’angle par un calcul trigonométrique simple.

L’angle est égal à Sin-1 (34,45 / 60) = 35,04°. Comme la valeur donnée par l’IMC est de 35,22° on peut améliorer la mesure en étalonnant l’appareil sur un temps donné. Dans le cas présent, en minimisant les écarts lors de nombreuses observations antérieures, on voit que la vraie valeur de la planche n’est pas exactement 60 cm (mesure difficile à vérifier quand l’appareil est monté) mais de 59,79 cm, valeur trouvée par approximation et qui minimise les écarts aux vraies valeurs.

Avec cette valeur l’angle est de Sin-1 (34,45 / 59,79) = 35,18° contre 35,22° pour la valeur donnée par les tables.

Une fois étalonné, l’appareil est précis si on prend soin de bien vérifier son horizontalité. Les résultats peuvent encore être modifiés pour tenir compte de la réfraction de l’atmosphère.

Pourquoi un cercle ? On pourrait penser que le cercle mobile est inutile et que, mit dans l’axe du méridien, un dispositif sans cercle permettrait les mêmes mesures. Le grand avantage du cercle est qu’il est très facilement orientable, qu’on peut y suivre le soleil quand il est aux alentours du méridien et observer la montée du soleil. Quand on est strictement à l’équinoxe, comme dans le cas de l’expérience de Danti, on peut suivre le soleil sur un temps assez long sans que la hauteur lue au méridien soit modifiée car le soleil est alors dans le plan de l’écliptique et le cercle y est également.

Que faire avec cet instrument ?

L’utilité pédagogique de ce cercle armillaire issu de l’expérience de Danti, mais qu’il ne cherche pas à reproduire, est qu’il permet de mesurer avec précision la hauteur du soleil au méridien avec un instrument issu d’un bricolage simple et peu couteux.

Il nécessite de maitriser le calcul trigonométrique sur un tableur, de faire des calculs d’erreur, de minimiser les erreurs en étalonnant l’appareil à partir des vrais valeurs : il est un complément de la méridienne de classe en ce sens qu’il mesure avec assez d’exactitude les valeurs qui étaient simplement dessinées sur le sol dans le cas de la méridienne mais non mesurées.

Le but visé ici est de construire un instrument le plus précis possible avec des moyens simples dont auraient pu se servir Sosigène, conseiller de Jules César pour la réforme du calendrier. Archimède a décrit soigneusement dans son traité l’Arénaire une observation du soleil au lever dans lequel il faisait des mesures pour mesurer le diamètre du soleil : si les mesures modernes ont gagné en précision, l’encadrement qu’il propose pour sa mesure n’a pas été remis en cause depuis (voir Archimède compte les grains de sable de l’univers). Par ailleurs l’antiquité connaissait des mécanismes complexes comme celui dit d’Anticythère, ce qui veut dire qu’introduire des mécanismes plus précis qu’une simple aiguille comme repère était à la portée des anciens, mais non une vis micrométrique munie d’un vernier, inventions qui datent de l’époque moderne et qui seraient donc anachroniques. Le but du montage pourrait donc être de faire mieux que Sosigène, avec des instruments simples et peu couteux. Peut-on trouver mieux pour la longueur de l’année que 365,25 jours et se rapprocher de la valeur de 365,2425 jours mise au point par Clavius, le conseiller de Grégoire XIII lors de la réforme dite grégorienne en 1582. L’objectif est difficile mais on peut probablement faire mieux que Sosigène. Le concours est ouvert à qui trouvera la meilleure valeur, avec évidemment un encadrement statistique expérimentalement prouvé. Un cycle de quatre ans d’observations permettrait dans l’idéal de trouver pour un jour donné une différence à la condition qu’elle soit significative statistiquement.

Voyage de classe à Florence et à Bologne

En plus des trésors artistiques de ces villes, on pourra aller voir la façade de Santa Maria Novella à Florence (près de la gare du même nom) pour examiner la sphère armillaire de Danti ainsi que le cadran solaire proche. À Bologne, la cathédrale San Pretronio permettra de visualiser la méridienne de Cassini en action. En heure d’été, il faudra tenir compte de l’équation horaire du moment si l’on ne veut pas trouver porte close (précisément au moment de la pause méridienne) : le mieux est de venir pendant l’heure d’hiver qui en Italie correspond à l’heure solaire (Temps Universel + 1 heure).

Du pied romain au module des églises romanes

Comment passe-t-on du pied romain aux mesures d’Ancien Régime dont l’unification sera un des buts des travaux de la Révolution sur les poids et mesures ? Dans une première étape je présenterai quelques travaux de spécialistes qui permettent de se faire une idée des valeurs numériques de ces unités et de leur variété dans l’espace de l’Empire romain. Le pouvoir carolingien tentera d’y mettre bon ordre : les églises romanes en gardent la trace.

Mesurer aujourd’hui la longueur du pied romain

Reprenons un exemple déjà traité, celui des centuriations romaines et en particulier celui de la centuriation de Valence dont je reprends des éléments.

On peut voir encore aujourd’hui à l’est de la ville de Valence, les restes d’une centuriation qui avait pris pour base comme decimanus maximus, non pas la direction Est-Ouest, mais une ligne approchante basée sur la route qui relie Valence à Chabeuil. Ce qui fait dire que les alignements actuels, soulignés par un trait noir sur la deuxième carte, sont des traces de centuriation vient du fait que la largeur entre routes est de 710 m, la valeur du côté d’un carré de base de centuriation.

Voici le graphique donné par l’auteur [1].

ValenceCenturiationR3

Examinons la carte au 25.000e autour du point 139 (secteur « Les Martins ») et mesurons la distance correspondant à deux limites de centuriations :

Valence2

Pour une carte au 25.000e où 1 mm correspond à 25 m, on mesure 56 mm pour deux centuries , soit 28 mm pour une seule qui correspond à 28 x 25 = 700 m.

Comme une centurie correspond à  2400 pieds, la valeur du pied ici est de  700 / 2400 = 0,292 m soit 29,2 cm

La valeur communément admise pour le pied romain étant de 29,57 cm qui multipliée par les 2400 pieds d’une centurie donne, en arrondissant au mètre, 710 m. On retrouve là l’annonce de l’auteur qui correspond à une moyenne de plusieurs mesures.

Autre unité en Gaule : le pes drusianus

Hygin, un des auteurs du corpus des arpenteurs romains [2] signale que :

ubicumque extra fines legesque Romanorum,
partout où en dehors du territoire et des lois des Romains
id est, ut sollicitius proferam,
c’est-à-dire, pour s’exprimer avec plus d’attention
ubicumque extra Italiam
partout où en dehors de l’Italie
aliquid agitatur,
quelque chose est pratiqué

_____inquirendum et de hac ipsa condicione diligenter
_____de rechercher avec soin sur ces conditions-là [particulières]
praemoneo,
je conseille
_____ne quid sit quod praeterisse videamur
_____pour que nous semblions n’avoir rien omis (II, 56).

Hygin signale par-là que, en dehors de l’Italie, chaque peuple, même conquis, conserve ses mesures. Juste auparavant, il en avait donné un exemple et il en donne l’équivalent en pied habituel (appelé pes monetalis parce que l’étalon de longueur était déposé dans le temple de Junon moneta)

Item dicitur in Germania in Tungris
De même on parle en Germanie chez les Tongres
pes Drusianus, qui habet monetalem pedem et sescunciam.
du pied drusien qui vaut un pied monétal et une once et demie (II, 55).

Les Tongres sont un peuple de Gaule Belgique ; Drusus légat en Gaule n’a pas apporté le pied romain mais a respecté le pied local (peut-être lors d’un recensement).

-sescuncia, abréviation pour sesqui-uncia. Sesquihora = une heure et demie ; sequiobolus = une obole et demie. Uncia, l’once, désigne la douzième partie de l’unité (le pouce dans le cas du pied). Une sescuncia correspond donc à un pouce et demi.

Le pouce est égal à 29,57 / 12 = 2,46 cm, un pouce et demie à 3,70 cm, quantité qui s’ajoute au pied ordinaire de 29,57 cm, ce qui donne un pied drusien de 33,27 cm selon hygin.

C’est de ce pied drusien (pes drusianus) dont on a retrouvé récemment un instrument de mesure lors d’une fouille préventive à Mâcon. Il s’agit d’une tige métallique graduée reproduite ci-dessous [3].

TigeMacon2

En comparant les graduations observées avec une échelle des subdivisions du pied romain de 29,57 cm, on n’arrive pas à une coïncidence satisfaisante. Celle-ci est obtenue par contre en utilisant le Pes drusianus de 33,27 cm.

Autre unité en Gaule : la lieue

La table de Peutinger, que nous avons déjà examinée sur ce carnet, donne pour les quatre étapes de Saintes à Poitiers une estimation (en chiffres romains) de la longueur de l’étape.

Utilisons un site qui replace sur une carte moderne les étapes de la table de Peutinger et en donne les distances affichées dans la table (cliquer sur la carte pour l’agrandir) :

SaintesPoitiersPeutinger

 Entre Saintes et Poitiers, on cumule XVI + VIII + XII + XVI soit (révisons le calcul en chiffres romains) : XXX VVV IIIIIII ou XXXX V IIIIIII ou XXXX VV II ou LII ou 52 unités de compte.

L’unité est le mille romain ou milliers de pas avec un pas égal à 5 pieds. Le pas est en fait un double pas : avec le pied romain de 0,2957 m, le pas est de 1,48 m et le mille de 1 478,5 m. En Gaule, l’unité locale, la lieue avait été romanisée avec le rapport une lieue = 1, 5 mille romain. Pour tenir compte de cette correction, on multiplie le mille par 1,5 ce qui nous donne une valeur de 2 217,75 m.

Jacques Dassié dans un article de Gallia [4], estime la distance entre Saintes et Poitiers à 128 km.

Avec une valeur de 2 217,75 m pour la lieue et 52 unités de compte on arrive à une distance de 115,3 km soit une erreur de près de 10%, ce qui est beaucoup.

Jacques Dassié fait l’hypothèse que la lieue gauloise, qui existait préalablement à la conquête romaine, avait une longueur de 2 450 m et que la romanisation en avait fait une approximation grossière. Avec cette lieue, 52 unités correspondent à 127,4 km soit une erreur qui n’est plus que de 0,5%, ce qui confirme la valeur retenue.

***

On voit à travers ces différents exemples  que le pied romain de référence (monétal) n’était pas la seule unité employée dans l’Empire romain. Qu’en est-il ensuite ?

Les églises de Lyon du IVe au XVIIe siècle

Pour répondre à cette question, on dispose du travail d’Alain Guerreau, historien du Moyen Âge qui a mesuré beaucoup d’églises, et qui, à Lyon, a pu mesurer des églises du IVe au XVIIe siècle [5].

Pour Alain Guerreau, ce qui est pertinent quand on mesure une église médiévale, ce sont les dimensions intérieures de l’édifice car l’épaisseur des murs était laissée à la charge des artisans à partir du moment où était délimitée au sol la forme de l’édifice.

C’est pour cette délimitation que la notion d’unité de mesure prend de l’importance : en effet, les futures dimensions de l’édifice étaient appréciées à l’aide d’une grande perche de bois (de 10 pieds par exemple) qui servait de module. Prenons l’exemple de la cathédrale Saint-Jean construite au XIIe et XIIIe siècle (avec quelques éléments ajoutés ensuite) dont voici, issu de l’article cité, le plan et son module :

StJeanPlanModule

Comme le signale l’auteur, « l’axe même de la cathédrale est proprement tordu, il ne s’agit pas d’une simple « rupture » à tel ou tel niveau, comme on en rencontre dans beaucoup d’édifices ; on pourrait presque dire que l’on s’écarte systématiquement de la ligne droite et de l’angle droit. Avec un minimum d’attention, ces écarts peuvent aisément se constater à l’œil nu, au niveau du sol » mais ce qui nous intéresse ici c’est le module de construction, un pied de 32,0 cm. Comment peut-on arriver à cette conclusion ?

La méthode consiste à partir des éléments mesurés : largeurs de la nef en divers endroits, largeurs en incluant les bas-côtés, longueur totale et longueur sans l’abside. On a les résultats suivants (en cm) :

– largeurs : 1205  1260  1278  1278  1285  2609  2573  4494
– longueurs : 7990 7207

Si l’on divise toutes ces observations par 32,0 on a les rapports suivants (en arrondissant à l’unité):

observation

1205

1260

1278

1285

2609

2573

4494

7990

7207

quotient

38

39

40

40

82

80

140

250

225

C’est en négligeant les irrégularités (visibles d’ailleurs sur le plan lui-même) que l’auteur a pu construire les indications des modules présentées dans le graphique.

En faisant le même travail sur l’ensemble des églises de Lyon, on peut observer l’évolution des modules à travers les siècles qui peut être périodisée en fonction de la réforme carolingienne qui réintroduit le pied romain.

Avant cette réforme l’auteur note « dans la seconde moitié du IVe siècle, un pied aux alentours de 33,3 – 33,4cm (baptistère) [6] ; aux Ve-VIe siècles, un pied d’environ 35,5cm (basiliques funéraires et cryptes) »

Un pied romain de 29,5 cm, restauré à la renaissance carolingienne, s’impose pendant la période romane jusqu’au XIIe siècle : Alain Guerreau le retrouve également à Cluny [7], dans 16 des 21 églises étudiées dans le Mâconnais [8], et encore ailleurs [9]. Ensuite de l’extrême fin du XIIe au XVe siècle le pied est de 31,5 cm à 32,3 cm ; à partir de la seconde moitié du XVIe le pied de 34,0 cm est l’unité lyonnaise et le restera ensuite.

La réforme carolingienne

On sait que la réforme carolingienne s’est caractérisée par un retour aux sources de la latinité : dans un précédent billet, on avait vu comment Alcuin avait traduit une vie de saint (Saint-Riquier) qui était prêchée dans un latin compris par les fidèles, en un latin tout à fait classique mais qui n’était plus compris, ce qui dura longtemps.

Dans le domaine des poids et mesures, le retour aux sources opéré par la réforme carolingienne ne s’est pas fait sans difficulté du fait de la diversité des unités dans les différentes régions de l’empire. La preuve en est dans les injonctions suivantes relevées dans ces décisions de conciles carolingiens échelonnés de 789 à 864 :

Volumus ut
nous voulons que
_____aequales mensuras et rectas,
_____des mesures régulières et exactes
_____pondera iusta et aequalia
_____des poids justes et réguliers
omnes habeant,
tous aient
_____sive in civitatibus, sive in monasteriis,
_____soit dans les villes, soit dans les monastères
_____sive ad dandum in illis,
_____soit en donnant [qqch] avec celles-ci
_____sive ad accepiendum,
_____soit en [le] recevant
_____sicut in lege Domini praescriptum habemus
_____comme cela nous est prescrit par la loi du Seigneur (789)

Volumus ut
Nous voulons que
unusquisque iudex
tout officier public
in suo ministerio
pendant sa charge
_____mensuram modiorum, sextariorum
_____une mesure de boisseau, de setier
_____et siculas per sextaria, octo et corborum
_____et des sicles [mesure de capacité] par sixième, huit et corbeilles [corbes ?]
ad tenere habeat,
ait [soin] de posséder
_____sicut et in Palatio habemus
_____comme nous en avons au Palais (800)

Volumus ut pondera vel mensurae
Nous voulons que les poids et mesures
ubique aequalia sint et iusta
partout soient identiques et exactes (813)

Mandamus et expresse praecipimus
Nous exigeons et ordonnons expressément
ut Comes et Reipublicae ministri ac caeteri fideles nostri
que les Contes, les agents de l’état et tous ceux qui nous sont fidèles
provideant quatenus
prévoient que [?]
iustus modius aequusque sextarius,
un boisseau exact et un setier équitable
secundum sacram Scripturam
selon l’Ecriture sainte
et Capitula praedecessorum nostrorum,
et les Ordonnances de nos prédécesseur
_____in civitatibus et in vicis et in villis
_____dans les villes, les bourgs et les villages
_____ad vendendum et emendum
_____tant pour vendre que pour acheter
fiat;
soit [présent]
_____et mensuram secundum antiquam consuetudinam
_____ainsi qu’une mesure selon l’usage antique
_____de Palatio nostro accipiens
_____acceptée dans notre Palais

et non
et que
_____pro hac occasione a mensurariis
_____pour une occasion donnée de la part de ceux qui mesurent
_____vel ab his qui censum debent,
_____ni de la part de ceux qui doivent une somme
maior modius nisi sicut consuetudo fuit,
un boisseau plus grand que ce qui est d’usage
exigatur
ne soit pas exigé (864) [10]

Ces textes, comme l’indique Witold Kula qui les cite [11], manifestent les préoccupations métrologiques de la Couronne en insistant sur la rectitude nécessaire des unités, à comparer avec l’unité se trouvant dans le palais impérial.

***

La politique de Rome, si elle a été impérialiste, a toujours respecté les institutions locales et nous en avons une confirmation au niveau des poids et mesures : lieue gauloise et pied drusien étaient des unités locales de longueur de la Gaule et les romains s’y sont adaptés. Ce qui est intéressant dans ce que nous venons de voir est que le pied romain a été réintroduit par la renaissance carolingienne qui a eu, elle, le souci d’imposer ses poids et mesures sur tout l’empire. Il en reste les modules des églises romanes : ce n’est pas rien.


Merci à Alain Guerreau pour ses informations et ses recommandations (dont je ne suis pas certain de les avoir toutes suivies à la note 6)

  1. John Bradford, Ancient landscapes : studies in field archaeology, Westport, Greenwood press, 1980, première édition 1957, graphique p.207 []
  2. Tome 2, Hygin, Siculus Flaccus, édité par Jean-Yves Guillaumin, Les Belles lettres, 2010 []
  3. Illustration issue de : Daniel Barthèlemy et Stéphane Dubois, « Métrologie antique : une tige métallique graduée découverte à Mâcon (Saône-et-Loire) », Revue archéologique de l’Est, Tome 56, 2007, [En ligne] []
  4. Jacques Dassié, « La grande lieue gauloise », Gallia, Tome 56, 1999. pp. 285-311 []
  5. Alain Guerreau, « Mesures des églises médiévales de Lyon » in Morritz Wedell (éd.), Was zählt. Ordnungsangebote, Gebrauchsformen und Erfahrungsmodalitäten des “numerus” im Mittelalter, Köln, 2012, pp. 119-153 []
  6. J’aurai évidemment tendance, mais il faut se méfier de rapprochements qui peuvent être dus au hasard, à rapprocher cette valeur de 33,3 cm du pied drusien vu plus haut et présent en Gaule environ deux siècles plus tôt. En effet, un auteur américain le repère à la base de la Maison Carrée de Nîmes de la première moitié du IIe siècle : James C. Anderson Jr., Journal of the Society of Architectural Historians, Vol. 60, No. 1 (Mar., 2001), pp. 68-79 []
  7. Alain Guerreau, « Espace social, espace symbolique : à Cluny au XIe siècle », in Jacques Revel et Jean-Claude Schmitt (ed.), L’ogre historien. Autour de Jacques Le Goff, Gallimard, 1998, p.167-191 []
  8. Alain Guerreau, « Vingt et une petites églises romanes du Mâconnais : irrégularités et métrologie », in Patrice Beck (éd.), L’innovation technique au Moyen Age, 1998, pp. 186-210 []
  9. On trouvera exposée la méthode utilisée dans : Alain Guerreau, « L’analyse des dimensions des édifices médiévaux. Notes de méthode provisoires », in Nicolas Reveyron (éd.), Paray-le-Monial, Brionnais-Charolais, le renouveau des études romanes, Paray-le-Monial, 2000, p. 327-335, version en ligne sur HalSHS []
  10. Je rappelle que les sous-titres ne sont pas une traduction mais une aide à la compréhension (avec les hésitations qu’elle comporte) et que si le texte latin d’origine se lit de haut en bas sans tenir compte des retraits, l’ordre du français est présenté en lisant d’abord les mots sans retraits, puis en remontant en haut pour lire le niveau avec retrait et ce pour une phrase donnée []
  11. Witold Kula, Les mesures et les hommes, Éditions de la MSH, 1984, p. 148, ed. orig. 1970 : cet ouvrage est central pour comprendre la logique des pratiques sociales associées aux différentes unités d’Ancien Régime []

Archimède compte les grains de sable de l’univers

Dans l’Arénaire, texte d’une vingtaine de pages, Archimède propose un système de numération qui permet de noter sans difficultés de très grands nombres. Ce texte, est intéressant à plusieurs titres :
– le lecteur d’aujourd’hui ne s’y sent pas dépaysé dans la mesure où il s’agit d’un raisonnement mathématique. La science moderne est héritière directe de cette science des anciens et si le même raisonnement est aujourd’hui plus économe en mots, la rigueur est la même. Le texte ne demande qu’un effort de lecture, non un dépaysement culturel,
– Archimède utilise pour son propos les connaissances astronomiques de son époque et nous propose aussi le récit d’une expérimentation précise, la mesure du diamètre apparent du soleil. Nous avons accès par ce biais aux pratiques scientifiques elles-mêmes et non pas seulement aux résultats comme dans le mécanisme d’Anticythère,
– la technique de mesure utilisée doit être examinée avec soin car il s’agit d’une méthode d’encadrement de la valeur recherchée, l’équivalent du calcul d’erreur de la physique moderne.

Le titre traditionnel en français, l’Arénaire, vient du titre latin arena qui signifie sable, traduction du grec psammitês. En langue anglaise, ce traité est connu comme étant le Sand-Reckoner, le « compteur de sable ». Il s’agit bien en effet de compter des grains de sable, et sur une grande échelle comme on va le voir.

***

Dans son adresse initiale au roi Gélon, fils de Hiéron, roi de Syracuse, Archimède s’empare d’un dicton populaire qui compare ce qui est incommensurable à du sable dont on ne peut compter les grains. Il se donne le défi de compter le nombre de grains de sable qui se trouvent dans l’univers au sens des anciens, c’est-à-dire le monde avec la terre au centre (ou le soleil, comme nous le verrons), et avec comme périphérie la « sphère des fixes » où sont les étoiles immobiles à l’encontre des planètes errantes. Le but d’Archimède est de mettre au point un système de numération qui permette d’exprimer des nombres, si grands soient-ils.

Son but est scientifique et non pratique car pour les besoins courants, on utilise la dizaine dekas,  la centaine hecatontas, le millier khilias, la myriade murias pour 10.000. Ce sont ces mots grecs qui seront d’ailleurs utilisés comme préfixes dans le système métrique (deca, hecta, kilo).

Pour donner un exemple parlant de l’efficacité de son système de numération, il va donc faire des estimations de la taille du monde mais à chaque étape, il n’hésitera pas à prendre un nombre plus grand que nécessaire (un majorant). Il développera les possibilités de son système à une échelle tellement grande que seule ses premiers développements en seront utilisés.

L’Arénaire permet aussi d’exposer avec rigueur ce qu’Archimède sait des dimensions du monde en tant qu’astronome, et il rappelle à cette occasion qu’il est le fils de l’astronome Phidias (cité dans le texte p. 137) [1]. L’Arénaire est divisé en quatre parties :

1) Hypothèses astronomiques

Qu’est ce qui est au centre de l’univers ? La croyance commune, nous dit Archimède, est que c’est la terre, mais il fait sien le système d’Aristarque de Samos qui pense que c’est le soleil. Est-ce qu’il l’adopte parce qu’il le juge astronomiquement plus conforme à la réalité, ou parce qu’il constate qu’un tel système entraine des dimensions du « monde » plus grande, ce qui est utile pour son exposé ? Il ne nous le dit pas.

Il admet que :

πρῶτον μὲν τὰν περίμετρον τᾶς γᾶς
D’abord le périmètre de la terre

εἶμεν ὡς τ μυριάδων σταδίων καὶ μὴ μείζω,
a la valeur de tau myriades de stades et pas plus. (p.136)

Le système savant de numération grecque [2] utilise les lettres de l’alphabet (en suivant l’ordre des lettres sémitiques dont elles sont issues) :
– pour les unités : alpha=1, bêta=2, gamma=3, delta=4, epsilon=5, digamma à la place du vaw sémitique et du f latin=6, dzêta=7, êta=8, thêta=9 ;
– pour les dizaines : iota=10, kappa=20, lambda=30, mu=40 ; nu=50, ksi=60, omicron=70, pi=80, koppa à la place du coph sémitique et du q des latins=90 ;
– pour les centaines : rhô=100, sigma=200, tau=300, upsilon=400, phi=500, khi=600, psi=700, oméga=800, sampi en utilisant le tsadé sémitique=900 ;
– pour les milliers on réutilise les marques des unités précédées d’une marque graphique (un iota souscrit).

Alors que nous découpons les grands nombres par tranches de trois chiffres (mille, million, etc.), la myriade est l’unité de base qui est représentée par des nombres de quatre chiffres. Pour les nombres plus grands, on peut d’abord donner le nombre de myriades, puis les unités : par exemple on connait un nombre très grand que l’on trouve dans Aristarque de Samos [3] qui se présente ainsi (les lettres des unités avec une marque à gauche désignent les milliers ;  M désigne la myriade) : ,ζροε M ,εωοε qui retranscrit en chiffres donne 7175 M 5875 ou encore 7175 x 10000 + 5875.
Ce système savant, n’est pas celui qu’Archimède va nous présenter et qui s’apparente plus à un exercice mathématique qu’à la proposition d’un système utilisable.

Donc le périmètre de la terre vaut au maximum tau = 300 myriades de stades soit en prenant 157,5m pour la valeur du stade, 300 x 10 000 x 0,1575 km = 472 500 km ; pour Archimède qui veut montrer les possibilités de son système de numération, il s’agit d’un majorant, car la valeur reconnue à son époque (sans qu’il cite sa source) était de lambda = 30 myriades de stades, doit 47 250 km.

Après diverses autres hypothèses, il en vient au rayon apparent du soleil. Et là, il nous explique le problème en termes très précis. Le majorant large viendra plus tard, ce qui importe ici c’est la précision de la mesure obtenue par encadrement entre une valeur inférieure (le minorant) et une valeur supérieure (le majorant).

Voici d’abord la procédure utilisée pour le minorant :

 Τεθέντος οὖν μακροῦ κανόνος ἐπὶ πόδα ὀρθὸν ἐν τόπῳ κείμενον,
Disposant donc d’une grande règle sur un pied vertical situé en un lieu

ὅθεν ἤμελλεν ἀνατέλλων ὁ ἅλιος ὁρᾶσθαι
d’où le soleil levant [halios= dorien] pouvait être vu

καὶ κυλίνδρου μικροῦ τορνευθέντος
et un petit cylindre ayant été fait au tour,

καὶ τεθέντος ἐπὶ τὸν κανόνα ὀρθοῦ εὐθέως μετὰ τὰν ἀνατολὰν τοῦ ἁλίου
et disposé verticalement sur la règle aussitôt après le lever du soleil

ἔπειτ’ ἐόντος αὐτοῦ ποτὶ τῷ ὁρίζοντι καὶ δυναμένου ἀντιβλέπεσθαι
ensuite, alors qu’il est à l’horizon et pouvant être regardé

ἐπεστράφη ὁ κανὼν εἰς τὸν ἅλιον
la règle est tournée vers le soleil

καὶ ἁ ὄψις κατεστάθη ἐπὶ τὸ ἄκρον τοῦ κανόνος
et l’œil est placé à l’extrémité de la règle

ὁ δὲ κύλινδρος ἐν μέσῳ κείμενος τοῦ τε ἁλίου
alors le cylindre placé entre le soleil

καὶ τᾶς ὄψιος ἐπεσκότει τῷ ἁλίῳ
et les yeux masque le soleil

Ἀποχωριζόμενος οὖν [τοῦ κυλίνδρου] ἀπὸ τᾶς ὄψιος
en éloignant donc le cylindre des yeux

ἐν ᾧ ἄρξατο παραφαίνεσθαι τοῦ ἁλίου μικρὸν
sur lequel commence à se laisser voir un peu du soleil

ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ κυλίνδρου, κατεστάθη ὁ κύλινδρος
de chacun des deux [côtés] du cylindre, le cylindre est fixé. (p. 138)

En effet, si on laisse le soleil apparaitre sur les côtés du cylindre, l’angle obtenu est inférieur au diamètre apparent du soleil et, pour être certain de ce résultat, Archimède en diminue encore la valeur du fait que l’œil n’est pas ponctuel mais a une certaine largeur.

Le majorant est obtenu en faisant la même mesure mais en occultant complètement le soleil par le cylindre. Les résultats sont les suivants exprimés en parties d’angle droit :
– le majorant est noté ρξδ  soit donc  rho=100 + ksi=60 + delta=4. Donc le majorant est la 164e partie de l’angle droit (ou, pour prendre nos unités actuelles en divisant 90 degrés par 164  = 0,549°)
– le minorant est égal à σ, sigma= 200. Le minorant est la 200e partie d’un droit (ou 0,45°).

La valeur estimée aujourd’hui du diamètre apparent du soleil, qui varie quelque peu au cours de l’année, est comprise entre 0,525° et 0,542°. Les valeurs actuelles sont bien comprises dans les bornes indiquées par Archimède.

Chacun aujourd’hui peut refaire facilement l’expérience d’Archimède, non en regardant le soleil en face, mais la lune qui a le même diamètre apparent. Il suffit en en effet de tendre sa main vers la lune et de recouvrir son image (comme le cylindre de l’expérience d’Archimède) par un ongle des doigts de la main. D’une manière très approximative, la largeur de l’ongle du petit doigt est de 7 mm et la distance de l’œil à l’extrémité du doigt est de l’ordre de 70 cm. La circonférence est de (reprenons la valeur donnée par Archimède pour pi = 22/7) : 70 x 2 x 22/7 = 440 cm. La largeur de l’ongle de 0,7 cm représente 0,7 / 440 = 1 / 629 de la circonférence pour reprendre la méthode d’Archimède. On multiplie ce résultat par 360 pour avoir le résultat en degrés : 360 / 629 = 0,57° ; c’est une approximation très grossière par rapport à l’encadrement archimédien mais on a au moins un bon ordre de grandeur (un demi-degré).

Prenant toujours des précautions dans ses estimations, Archimède fait des corrections et conclut que le diamètre du soleil est plus grand que la 203e partie de l’angle droit ou, en notant en parties de la circonférence (égale à 4 droits), est plus grand que la 812e partie de la circonférence. Arrondissant encore, Archimède démontre que le diamètre du soleil est supérieur au côté d’un polygone régulier de 1000 côtés inscrit dans la sphère des fixes.

2) Mise en relation des hypothèses

Reprenant alors ses hypothèses précédentes sur les rapports entre les dimensions du soleil, de la lune et de la terre, il arrive au résultat que le diamètre du monde est inférieur à cent myriades de myriades de stades.

Il fait ensuite des estimations sur le nombre de grains de sable compris dans un volume donné. Dans un volume d’une graine de pavot il y a moins d’une myriade de grains de sable.

Sans entrer dans le détail des mesures, des estimations personnelles faites avec du sable de Fontainebleau manifestent que le nombre retenu par Archimède est plus de dix fois supérieur à une estimation raisonnable, ce qui est normal du fait de sa stratégie.

3) Le système de numération

Archimède dispose d’une estimation par excès du diamètre du monde et du nombre de grains de sable par unité de volume. Avant de calculer le nombre de grains de sable contenu dans la sphère des fixes, il présente son système de numération.

Dans le système de numération grecque qui note par groupes de quatre chiffres, le dernier nombre de ce système sera égal à 9999 M 9999 et le suivant  sera la myriade de myriade 1 M M (dans notre système d’exposants de base 10, la myriade 10 000 est égale à 104 et la myriade de myriade à 104 x 104 = 108).

Archimède appelle premiers nombres tous les nombres jusqu’à la myriade de myriades (M M ou 108) : il va continuer la numération en prenant maintenant une série de seconds nombres qui ont comme unité la myriade de myriades et qui permettent d’en compter une, deux, une myriade, jusqu’à une myriade de myriades : traduits dans notre système, ces seconds nombres vont de 108 jusqu’à 108 x 108 = 1016 (moins une unité).

Le système peut se prolonger avec les troisièmes nombres et continuer beaucoup plus loin jusqu’aux nombres dénommés μυριακισμυριοστῶν, que Mugler (p.146) traduit nombres « cent millionièmes » (102 x 106) ou « dix mille myriadèmes » faute de pouvoir dire : nombres « myriades de myriadèmes » (104 x 104). Notons que ces nombres pourraient servir de première unité pour une nouvelle « période » de nombres. Et l’opération peut se poursuivre, mais cela ne servira pas pour le comptage du sable.

 4) mise en œuvre du système pour compter le nombre de grains de sable du monde

 Τούτων δὲ τῶν μὲν ὑποκειμένων, τῶν δὲ ἀποδεδειγμένων,
De toutes ces choses soit admises, soit démontrées

τὸ προκείμενον δειχθήσεται
la proposition sera démontrée (p. 149)

Archimède va utiliser les valeurs mesurées par lui ou par d’autres (en prenant toujours le majorant) ou démontrées géométriquement ; il va enchainer tous ces résultats puis les situer dans son système de numération.

Le système actuel pour noter des nombres très grand utilise habituellement les puissances de 10. Par exemple 100, dix au carré, se note 102, 1 000=10 x 10 x 10 dix au cube ou 103, la myriade 10 000=104. Si on fait le produit de deux nombre, 1 000 fois 1 000 par exemple, il suffit d’ajouter les exposants : 103 x 103 = 1 000 000, un million ou 103+3 soit 106. Archimède commence par démontrer que ce que nous venons d’utiliser en base 10, vaut pour une base quelconque : basea x baseb = basea+b. On notera qu’en utilisant les exposants on note l’importance numérique du nombre et Archimède va faire de même.

Le raisonnement va maintenant se dérouler en huit étapes très répétitives après une étape initiale. C’est pratiquement le même texte qui se reproduit de page en page avec simplement des modifications des valeurs finales, ce qui nous permettra de mettre l’ensemble  sous la forme d’un tableau.

Etape initiale : soit la sphère de diamètre d’un doigt qui peut contenir au plus  dix myriades de myriades de grains de sable. Pour  visualiser les myriades, je divise les nombres par tranches de 4 chiffres séparés par un point: 10.0000.0000 (ou en abrégé 10 M M). Le nombre le plus à gauche est en 10e position à partir de la droite et c’est d’ailleurs identique en notation moderne où les tranches de trois chiffres sont séparées par un espace : 1 000 000 000 (= 109 : on observe une différence d’une unité entre la position à gauche et l’exposant).

Étape 1 : on passe d’un diamètre d’un doigt à un diamètre de 100 doigt. Le volume correspondant est multiplié par 100x100x100 =100.0000 cent myriades (100 M) où le chiffre le plus à gauche est en 7e position (106).

Voici le cœur de la méthode d’Archimède : quand on multiplie le résultat de l’étape précédente par ce multiplicateur, il suffit d’ajouter à la position du résultat précédent la position du multiplicateur (moins une unité) pour avoir la position du nouveau résultat (pour nous 109 x 106 = 1015, où le 1 est en 16e position suivi de 15 zéros). La nouvelle position sera donc 10 + (7-1) = 16.

Étapes suivantes : on assiste à la répétition mot à mot du texte. On passe d’une étape à la suivante en multipliant par 100 le diamètre, le volume par 1003 soit une augmentation de 6 positions.

On passe ainsi, par multiplications successives, par  les étapes suivantes où dans la colonne « Numération d’Archimède » M désigne la myriade ; les premiers nombres vont de 1 à M M-1, les seconds nombres (notés N2) vont de 1 N2 à (M M N2) -1 etc.

Etape Volume Position Notation moderne Numération d’Archimède (abrégée)
0 1 doigt 10 109 10 N2
1 100 doigts 16 1015 1 000 M N2
2 1 stade 22 1021 10 M N3
3 100 stades 28 1027 1 000 N4
4 1 myriade de stades (MS) 34 1033 10 N5
5 100 MS 40 1039 1 000 N5
6 1 MMS 46 1045 10 M N6
7 100 MMS (diamètre du monde, conception commune) 52 1051 1 000 N7
7bis 1MMMS (le texte passe de 7 à 8 directement) 58 1057 10 N8
8 100 MMMS (diamètre du monde, conception d’Aristarque) 64 1063 1 000 M N8

Il reste à nommer les nombres en utilisant les conventions établies plus haut. Rappelons que la nomination se fait par myriade de myriades. Dans la première les nombres vont de 1 à 9999.9999 et le nombre suivant est 1.0000.0000 avec le premier chiffre en 9e position, premier nombre des seconds nombres. Pour savoir où se situe le dernier chiffre en position 64, on compte combien de Myriades de Myriades (Huit zéros) se trouvent dans 64. Il y en a 8 et on est donc dans les huitièmes nombres. Le résultat final est :

Φανερὸν τοίνυν ὅτι τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος
Il est donc évident que la quantité de sable de grandeur

ἔχοντος ἴσον τᾷ τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαίρᾳ,
égale à la sphère des astres fixes

ἃν Ἀρίσταρχος ὑποτίθεται,
comme suggérée par Aristarque

ἔλασσόν ἐστιν ἢ ,α μυριάδες τῶν ὀγδόων ἀριθμῶν.
est inférieure à 1000 (=,alpha) myriades de huitièmes nombres (p. 156)

Ce que résume le tableau, c’est qu’Archimède fait ses calculs sur la valeur de la position et il somme les positions pour faire le produit des nombres. C’est que nous faisons maintenant en sommant les exposants et non les rangs : on peut dire qu’Archimède a initié d’une certaine façon ce que nous appelons aujourd’hui le calcul logarithmique.

L’Arénaire est en quelque sorte le premier article scientifique qui nous soit conservé car il se caractérise par un calcul de mesures physiques muni d’un encadrement et par un système de numération qui permet non seulement d’exprimer des nombres gigantesques mais qui donne un algorithme de calcul des produits par calcul sur la taille du nombre, repéré par sa position.

Il faut lire l’Arénaire. Le savoir mathématique est cumulatif : nous relisons ce texte avec plus de deux millénaires de recherche mathématique derrière nous. De ce fait, si nous suivons pas à pas le raisonnement, nous pouvons le réexprimer en termes modernes et nous le replaçons dans l’ensemble du savoir actuel. Comme il est rare de pouvoir comprendre un article d’une revue actuelle de mathématiques, lisons le premier de la série, il est à la portée de chacun s’il en fait l’effort.

***

Archimède pour conclure s’adresse au roi Gélon et lui disant que ce qu’il vient d’exposer  paraitra peu croyable au commun des mortels mais que ceux qui ont réfléchi sur ces problèmes les accepteront grâce à sa démonstration : c’est encore vrai pour les lecteurs actuels. La force contraignante d’un texte mathématique peut continuer à s’exercer, quelle que soit la distance temporelle.


Ce texte est issu d’un séminaire animé par Georges Guilbaud [4] (1912-2008) dans les années 80 au Centre de Mathématiques Sociales de l’EHESS. C’est l’occasion pour moi de lui rendre hommage : il fut le mathématicien de Lacan [5] et, continuant le travail de Condorcet, introduisit des Mathématiques sociales dans les sciences humaines. Ce fut un enseignant qui savait expliquer des concepts mathématiques à des non-mathématiciens en prenant les exemples les plus divers, du calendrier à l’analyse factorielle.

Merci aussi à Alain Bernard, Fabio Acerbi et Ramon Masià Fornos, spécialistes de l’histoire de la mathématique grecque.

Je signale enfin que mon article sur « L’avenir des humanités » paru dans le numéro de décembre 2012 de la revue Esprit, est désormais disponible sur mon site à cette adresse.

  1. les renvois sont faits à l’édition des Belles Lettres de Charles Mugler, Tome II d’Archimède, 1971 []
  2. Geneviève Guitel, Histoire comparée des numérations écrites, Flammarion, 1975, p. 243 []
  3. Pierre Dedron et Jean Itard, Mathématiques et mathématiciens, Magnard, 1959, p. 278 []
  4. Math. Sci. hum / Mathematics and Social Sciences (46e année, n° 183, 2008(3), p. 9-15 []
  5. Elisabeth Roudinesco, Histoire de la psychanalyse en France (la bataille de cent ans) 2 : 1925-1985, Le Seuil, 1986, p. 564-565 []

L’homme de Vitruve

On désigne souvent sous le nom d’homme de Vitruve, le célèbre dessin de Léonard de Vinci [1] et on le met en rapport avec le traité de l’architecture inclus dans la Divina proportione de Luca Pacioli. En effet Léonard de Vinci qui fut son élève, en a réalisé plusieurs illustrations, mais l’homme de Vitruve ne s’y trouve pas : essayons d’en comprendre la raison.

L’origine du dessin est un passage du De Architectura de Vitruve. Comme le signale Philippe Fleury dans l’introduction de l’édition des Belles Lettres du texte de Vitruve [2], celui-ci était peu connu dans l’Antiquité : il est cité seulement par Pline et Frontin puis, plus tardivement, par Sidoine Apollinaire. Comme Vitruve dédie ses Dix livres de l’architecture à Octave, il aurait pu exercer sa profession sous César.

A la Renaissance, Vitruve devient la référence en matière d’architecture et il inspire le De re aedificatoria (1485) d’Alberti. Outre le traité de Pacioli déjà cité (publié en 1509), il faut citer Les quatre livres de l’architecture d’Andrea Palladio (1570) dont le titre même évoque Vitruve puisque le De Architectura était connu sous le nom des Dix livres d’architecture de Vitruve, titre employé pour sa traduction (1673) par Claude Perrault, célèbre comme architecte de la colonnade du Louvre.

 On peut donc dire que des villas palladiennes (dont la fameuse Rotonda de Vicenze utilisée pour le tournage du Don Giovanni de Joseph Losey), à la colonnade du Louvre et à toute l’architecture classique, y compris dans ses développements plus récents (et même, comme on le verra, chez Le Corbusier), l’influence de Vitruve reste toujours forte. Il vaut donc la peine de lire (en version sous-titrée) le passage de Vitruve du livre 3, chapitre 1, 3 où il définit les rapports du corps humain avec les deux figures du cercle et du carré.

 Item corporis centrum medium naturaliter est umbilicus.
En outre le point central du corps est par nature au nombril
Namque si homo conlocatus fuerit supinus,
car si un homme est couché sur le dos
manibus et pedibus pansis,
mains et jambes écartées
circinique conlocatum centrum in umbilico eius,
et la pointe du compas sur son nombril
circumagendo rotundationem
en décrivant un cercle
_____utrarumque manuum et pedum
_____des deux mains et des pieds
digiti
les doigts
_____linea tangentur.
_____seront touchés par la ligne

Cette première inscription de l’homme dans un cercle est représentée isolément dans l’ouvrage de Claude Perrault qui souligne que les figures originales de Vitruve “ont été perdues par la négligence des premiers copistes qui ne savaient pas dessiner, et qui d’ailleurs ne les ont pas vraisemblablement jugées nécessaires ; parce que la vue de ces figures les ayant instruits des choses elles-mêmes dont il est parlé dans le texte, il leur a semblé assez intelligible ; de même qu’il arrive toujours que l’on entend bien ce qui est dit, quoi qu’obscurément, quand les choses sont claires d’elles-mêmes” (préface) [3]

Après ce qu’on a appelé l’homo ad circulum, est défini l’homo ad quadratum :

Non minus
Néanmoins,
quemadmodum schema rotundationis in corpore efficitur,
de même que la figure du cercle est opérante sur le corps
item quadrata designatio in eo invenietur
de même la disposition carrée se trouve en lui

nam si
car si
_____a pedibus imis ad summum
_____de la plante des pieds jusqu’en haut
caput mensum erit,
l’extrémité était mesurée

eaque mensura relata fuerit ad manus pansas,
et que cette mesure était reportée sur les mains tendues

invenietur eadem latitudo uti altitudo,
on trouvera même largeur que hauteur
quemadmodum areae,
comme pour les surfaces
quae ad normam sunt quadratae
qui sont [tracées] carrées à l’équerre.

Vitruve ne suggère pas que le carré soit inscrit dans le cercle : le centre de la figure humaine était défini comme étant le nombril, alors que dans le cas du carré, le centre de la figure se trouve sur le pubis, comme indiqué dans la figure de Claude Perrault.

Luca Pacioli lui est ambigu : il ne traduit pas Vitruve mais le paraphrase. L’interprétation de cette description est qu’il y aurait la même distance entre les deux pieds qu’entre une main et un pied. [4]. On trouve cette représentation par exemple dans une autre traduction de Vitruve de Cesare Cesariano de 1521 et il est possible que soit à l’époque l’interprétation la plus habituelle de l’homme de Vitruve [5] :

La solution de Léonard de Vinci est tout autre que cet homme en X dont la disproportion est évidente et l’on comprend mieux son absence de l’ouvrage de Pacioli dont l’interprétation est différente. Dans l’homme de Vitruve, le carré n’est pas inscrit dans le cercle mais ils sont tangents à la base.

Mettre deux bras et deux jambes en plus sur le même corps est une évocation de la décomposition du mouvement qui n’est pas une interprétation de notre époque, mais date de l’époque même de Léonard de Vinci. En effet Erwin Panofsky [6], a attiré l’attention sur un disciple de Léonard, Carlo Urbino, qui a décomposé des mouvements en une série d’instantanés [7].

_____

Au terme de ce parcours il faut revenir à Vitruve qui explique que s’il a présenté  les rapports entre les dimensions du  corps humain, c’est pour que l’architecte respecte aussi une proportion entre les composants de l’architecture et le monument dans son entier. Mais il ajoute ceci (chap. 1, 5) :

Nec minus mensurarum rationes,
Et néanmoins le système des mesures
quae in omnibus operibus videntur necessariae esse,
dont la nécessité se manifeste en toute œuvre
ex corporis membris collegerunt,
on l’a emprunté au corps humain
uti digitum, palmum, pedem, cubitum
comme le doigt, la main, le pied, la coudée.

 Ceci est un rappel que, au sens matériel même, l’homme est la mesure de l’homme ; que dans sa vie pratique, les mesures qu’il utilise sont issues de son corps. Il aurait pu noter que l’homo ad quadratum nous manifeste que la longueur des bras étendue, la brassée, est égale à la taille.

C’est cette perspective de l’architecte qui prend ses modules de construction sur le corps humain qu’a voulu retrouver Le Corbusier quand il a présenté le Modulor, silhouette humaine dont les différentes dimensions doivent permettre de construire un environnement propice à l’épanouissement de ceux qui s’y trouvent.

Le Corbusier veut faire la synthèse de l’hommo ad quadratum et de l’hommo ad circulum en imaginant le centre du corps (comme pour l’hommo ad circulum), situé au nombril mais qui est à la moitié de la hauteur bras levé, le geste du bras de l’homme étant prolongé vers le haut et inscrit dans une surface rectangulaire.

Notons pour terminer que la métrologie d’Ancien régime était issue de celle de l’Antiquité, basée sur la mesure de l’homme. Les Révolutionnaires lui ont donné pour base la terre et nous sommes fiers du système métrique. Le Corbusier qui n’était pas de nationalité française mais helvétique partageait moins ce sentiment et reprochait au système métrique sa prise de distance par rapport au corps humain et sa division décimale, si pratique pour la science mais qui nécessite d’autres divisions pour la vie courante (comme la progression par moitié et double pour les unités de monnaie).

  1. conservé à Venise, Galleria dell’Academia []
  2. De l’architecture . Livre I / Vitruve ; texte établi, trad. et commenté par Philippe Fleury, traduction de : De architectura libri X les Belles lettres, 1990 []
  3. Les dix livres d’architecture de Vitruve corrigés et traduits en 1684 par Claude Perrault, Liège, Mardaga, réédition en fac simile, 1996 []
  4. Argante Ciocci, Luca Pacioli e la matematizzazione del sapere nel Rinascimento, Bari, Cacucci, 2003, p. 79 []
  5. Ciocci, p. 82 []
  6. Erwin Panofsky, Le codex Huygens et la théorie de l’art de Léonard de Vinci, Flammarion, 1996, traduction et présentation de Daniel Arasse []
  7. Codex Huygens, Folio 27. Source : Sergio Marinelli,  The Author of the Codex Huygens,  Journal of the Warburg and Courtauld Institutes, Vol. 44 (1981), pp. 214-220 []