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Jeux et arithmétique en Grèce ancienne à la naissance de la démocratie

Cette célèbre amphore attique à figures noires (signée Exékias, vers 540 av. J.C.) se trouve au musée du Vatican [1] : elle représente une scène de la guerre de Troie absente de l’Illiade [2]. Il s’agit d’une pause des guerriers (ils sont en arme) qui jouent à un jeu connu sous le nom de « jeu des cinq lignes » (pente grammai) : Achille est à gauche, dominant Ajax dont le casque est posé derrière. Ils sont tous les deux assis sur des sièges rudimentaires et posent leurs doigts sur une surface. Agrandissons l’image :

Cliquer sur l’image pour l’agrandir.

On distingue des lettres qui sortent de la bouche des personnages comme dans une bande dessinée : à gauche Achille dit « quatre » (tes[s]era) et Ajax « trois » (tria). Il s’agit des résultats d’un dé à six faces (kubos). Voyons comment se jouait ce jeu  (d’après la description du site Nunc est bibendum, en ligne).

Pente grammai : les règles du jeu

Soit le plateau du jeu vu du dessus :

Les deux protagonistes ont chacun cinq pions et quand ils tirent une valeur au dé, ils peuvent lancer leur pion sur la ligne A pour l’un et B pour l’autre jusqu’à une case vide (variante : si la case est occupée ils renvoient le pion adverse au départ).

Le but est de faire parcourir l’ensemble de ses pions jusqu’à la ligne centrale (dite sacrée) où ils sont protégés. On saute les cases occupées.

L’ensemble des règles se trouve sur le site cité mais le mieux pour les comprendre est de jouer contre une machine sur le site Locus ludi : cliquer et démarrer le jeu en mode poursuite.

Jouer aux dés comme Achille et Ajax est la marque d’une démarche aristocratique dont Platon dans La République (Livre II, 374c) nous dit qu’on ne peut être bon joueur aux pions ou au dés (πεττευτικὸς δὲ ἢ κυβευτικὸς ἱκανῶς) si on ne s’y entraine pas dès l’enfance.

Clisthène d’Athènes, l’arithmétique et l’avènement de la démocratie

C’est encore en se basant sur des jeux proposés par Platon que le livre récent ci-dessous va nous montrer l’importance de l’arithmétique dans l’avènement de la démocratie lors de la réforme de Clisthène à Athènes.

« Clisthène d’Athènes, l’arithmétique et l’avènement de la démocratie » : c’est le sous-titre de ce livre de Paulin Ismard et Arnaud Macé [3] qui en résume parfaitement le contenu. Il s’agit de la réforme effectuée par Clisthène, homme d’état athénien, en 508/507 av. J.C. , qui a modifié la délibération et les prises de décision d’une manière telle qu’on la définit comme à l’origine de la démocratie à Athènes .

Selon Hérodote [4] Clisthène est :

ὁ τὰς φυλὰς καὶ τὴν δημοκρατίην Ἀθηναίοισι καταστήσας
Celui qui a instauré les tribus et la démocratie chez les Athéniens.

Le propos du livre va être de voir comment cette instauration des tribus s’est effectuée, ou plutôt car des tribus existaient auparavant, comment elles ont été modifiées, et comment ce nouveau style de fonctionnement est à la source de la démocratie.

Pour ce faire, Ismard et Macé proposent d’abord un schéma simplifié de la réforme [5].

1) L’Attique est divisée en trois grandes régions : au centre se trouve la ville d’Athènes et ses environs, le Pirée (astu) ; autour on trouve la Mésogée, centre du territoire de l’Attique (mesogeia) ; plus à l’extérieur se trouve la côte et les espaces frontaliers (paralia).

2) Chacune des trois grandes régions est divisée en dix zones qui forment trente regroupements appelés trittyes.

3) Création de10 nouvelles tribus : chaque tribu comprend une trittye des trois grandes régions.

C’est dans le cadre des dix tribus que sont désignés les magistrats, soit par élection soit par tirage au sort. De même et par tirage au sort uniquement, sont choisis les 600 individus par tribu qui vont constituer les juges de l’Héliée et les 50 membres par tribu qui vont constituer les 500 membres de la Boulé (Conseil des Cinq-Cents). Le brassage des populations introduit par la réforme plaçait tous les citoyens dans un rapport d’’égalité et fonde ainsi la démocratie athénienne [6].

Plutôt que de chercher dans les mathématiques savantes d’origine pythagoricienne la clé de la réforme, ce qu’on faisait jusqu’à présent, nos auteurs vont la chercher dans l’arithmétique rudimentaire possédée par tout un chacun : celle qui n’utilise pas des nombres abstraits mais des objets concrets comme des jetons que l’on pose sur l’abaque (qui peut d’ailleurs servir pour le jeu des cinq lignes que nous avons vu plus haut) ou des parts à distribuer dans un banquet.

Il y a un domaine où cette arithmétique concrète joue un grand rôle, c’est dans l’art militaire dont on trouve des développements dans Platon : l’art de disposer des hommes au combat peut être le même que celui qui organise la cohésion d’une cité. A cette fin on apprendra aux enfants un certain nombre de jeux afin que en les utilisant, cela leur soit propice « en vue de l’ordonnancement des campements, des rassemblements et des manœuvres aussi bien que de gérer leurs affaires domestique » [7]. Trois jeux sont présentés:

1) Comment réussir dans un banquet à faire des parts d’un nombre donné de pommes et de couronnes (μήλων τέ τινων διανομαὶ καὶ στεφάνων), afin de les distribuer « à un nombre plus grand aussi bien qu’à un nombre plus petit (πλείοσιν ἅμα καὶ ἐλάττοσιν) » de personnes « en ayant adapté le nombre de nombre de celles-ci (ἁρμοττόντων ἀριθμῶν τῶν αὐτῶν) c’est-à-dire en ayant adapté le nombre de pommes ou de couronnes au nombre de convives. [8]

C’est ce que doit faire Ulysse dans l’Odyssée où, au retour d’une chasse, il a 118 chèvres à répartir entre les douze vaisseaux de ses troupes. Or il se trouve que 118 n’est pas divisible par 12 : la solution que va imaginer Ulysse est de voir que le premier chiffre divisible par 12 inférieur à 118 est 108 (108 / 12 = 9) et qu’il faut donc soustraire 10 chèvres du total, qui seront la part du chef, et distribuer 9 chèvres par bateau. Ismard et Macé baptisent de ce fait ce jeu comme « avec Ulysse ».

2) Deuxième jeu décrit par Platon (819b6-7)

« L’exercice décrit par Platon consiste à créer un appariement (σύλληξις), c’est-à-dire à faire apparaitre des paires en l’occurrence de boxeurs à de lutteurs (πυκτῶν καὶ παλαιστῶν) »[9]. Sur un support quelconque (morceau de bois ou feuille de laurier), on met deux fois la même lettre de l’alphabet. En tirant au hasard chaque individu découvre quel sera son partenaire de combat.

Dans l’Illiade au chant II, Agamemnon pour faire voir à ses troupes que les effectifs des troyens sont très faibles par rapport à ses troupes, imagine qu’il appareille à chaque troupe de 10 hommes un seul troyen : on constate que beaucoup de groupes de dix n’auront pas de troyen à incorporer du fait de leur faible nombre. On peut ainsi comparer des grands nombres sans avoir à les compter. Ce jeu est donc baptisé par les auteurs comme « avec Agamemnon »

3) Troisième jeu (819b8c2)

Il y a plusieurs coupes de différents métaux que l’on cherche à répartir en sous-ensemble homogènes comme dans le schéma suivant [10] :

Au chant IV de l’Illiade, Nestor se sert d’un tel procédé pour répartir ses troupes dans des ensembles qui ont à leur tête des conducteurs de chars, à l’arrière des fantassins aguerris et au centre des « lâches » qui seront bien forcés d’avancer pour se battre car poussés par les vaillants guerriers qui les suivent.

Les expériences des cités archaïques et la réforme de Clisthène

Ismard et Macé montrent que si Platon met en avant des jeux qui peuvent servir à des fins militaires, ces démarches peuvent servir également à des fins politiques. Les auteurs nous en présentent de nombreux exemples pour des cités : Cyrène, Corinthe, Érétrie, Sicyone, Argos, la Thessalie d’Aleuas, qui au cours du VIe siècle, ont été modifées par des opérations qui ont divisé la population et réaffectés celle-ci dans différents territoires. Y ont été utilisé les opérations décrites par Platon dans les jeux cités.

La réforme de Clisthène s’inscrit dans ce mouvement général d’appariement d’une partie de la population à une partie du territoire : « Clisthène explore les différentes façons dont on peut combiner des opérations de division, de distribution et d’appariement pour produire des recompositions civiques, le principe de division territoriale s’imposant comme un puissant outil de brassage de la population » [11]

La réforme est d’autant mieux passé qu’il n’y eut pas substitution du nouveau système à l’ancien mais apparition d’un nouveau système pour de nouveaux usages comme pour la justice en particulier.

Ismard et Macé concluent le profil de Clisthène en disant que celui-ci « n’avait pas besoin de s’appuyer sur une révolution cognitive plus impressionnante que celle de savoir jouer au jeu des cinq lignes, ou de savoir retourner le jeu pour faire des additions, des soustractions, des divisions et des multiplications ». [12].

Ce renvoi à une extension possible du jeu des cinq lignes va nous permettre de conclure en expliquant cette possibilité : nous suivrons Véronique Dasen et Jérôme Gavin dans « Game Board or Abacus ? Greek Conter Culture Revisited », [13].  

Jeu de plateau ou abaque ?

L’article part de la représentation suivante :

Il s’agit d’un autel funéraire du 5e siècle av. J.C. trouvé à Krannon (Thessalie) qui, si on regarde en détail ce qui se trouve entre l’adulte assis et le jeune qui ne semble s’occuper que de son chien, semble être un jeu des cinq lignes.

Ce jeu a cependant la particularité d’avoir à sa gauche un demi-cercle dont l’histoire du calcul présentée par Dasen et Gavin montrent le rôle dans l’utilisation de l’abaque. Leur texte rappelle également ce que Platon disait sur l’importance de l’entrainement au jeu des jeunes aristocrates [14]. Nous sommes peut-être ici dans ce cas où un jeune de bonne famille (qui dispose d’un chien, pour la chasse peut-être) est entrainé par un professeur qui l’initie au maniement d’une abaque, laquelle peut être utilisée pour une récréation par le jeu des cinq lignes entre le professeur et l’élève.

Dans une annexe de l’article, Jérôme Gavin reconstitue le fonctionnement de l’abaque pour les quatre opérations, ce qui constituera aussi une annexe au présent billet.

Annexe : fonctionnement de l’abaque

 Notation

Chaque ligne de l’abaque représente les différentes unités de 1 à 10 000. Pour éviter d’avoir trop de marques sur chaque ligne on fait la convention qu’une marque entre deux lignes vaut cinq unités de la ligne précédente. [15]

Addition

Pour additionner 17 et 42, on les dispose sur la droite et la gauche de l’abaque. Pour faire l’addition il suffit de réunir les marques, en réduisant éventuellement le résultat comme à droite où l’on a, à gauche 59 en forme non réduite et à droite en forme réduite : [16

Soustraction

Pour soustraire 17 de 42, on commence par réduite les marques équivalentes. Pour pouvoir soustraire le 5 restant on retire une unité de la ligne des 10 pour la transformer en deux 5 en-dessous, dont on en retire un pour arriver à 25. [17]

Multiplication

Le processus est maintenant plus long (et il en sera de même pour la division). Pour multiplier 263 par 9, on dispose 263 sur l’abaque. On commence par multiplier les deux centaines par neuf ce qui donne 18 placés à droite. Ces centaines peuvent être réutilisées dans la suite. [18]

On peut ensuite multiplier les 6 dizaines par 9 soit 54 dizaines (en noir) que l’on additionne à droite puis l’on fait les réductions nécessaires.

Les 3 unités sont maintenant multipliées par 9, soit 27 unités (en noir) qui sont additionnés à droite puis réduites.

Division

Pour diviser 2628 par 3 on place le nombre sur l’abaque. Comme diviser les 2 milliers par 3 n’est pas possible, on utilise les 26 centaines ce qui donne, après division par 3, 8 centaines et il reste maintenant 2 centaines.

On s’occupe maintenant des dizaines : 22 dizaines divisées par 3 donnent 7 dizaines avec un reste de 1 dizaine.

On s’occupe enfin des 18 unités qui divisées par 3 donnent 6, sans reste. Le résultat est 876 [19].

  1. Musée du Vatican, En ligne []
  2. Véronique Dasen, Achille et Ajax : quand l’agôn s’allie à l’alea, Revue du Mauss, 15/2, 46, p . 81-98, en ligne []
  3. Paulin Ismard et Arnaud Macé, La cité et le nombre. Clisthène d’Athènes, l’arithmétique et l’avènement de la démocratie, Les Belles Lettres, 2024 []
  4. Hérodote, 6,131 ; Ismard et Macé p.20 []
  5. Ismard et Macé, p.22-23 []
  6. Ismard et Macé, p. 24-26 []
  7. Platon, Les Lois, VII, 819c4-5 []
  8. Platon, Les Lois, VII, 819b4-5, cité par Ismard et Macé, p. 78-79 []
  9. Ismard et Macé, p.82 []
  10. Ismard et Macé, p. 87 []
  11. Ismard et Macé, p.155 []
  12. Ismard et Macé, p.167 []
  13. in Board Game Studies Journal, Volume 16, 2022, Issue 1, p. 251-307, en ligne []
  14. République, II, 374c []
  15. Annexe Gavin, p. 290 []
  16. Annexe Gavin, p.291 []
  17. Annexe Gavin, p. 292 []
  18. Annexe Gavin, p. 295 []
  19. Annexe Gavin, .p. 296-297 []